برخال و طبیعت

يك منحني مي تواند فضا يي را پر كند در آن صورت بعد منحني برابر 2 خواهد شد يعني بعد منحني برخالي با بعد اقليدسي  سطح برابر مي شود منحني پينو يك نمونه از اين نوع منحي هاست. ,وايرشتراس اولين بار تابع پيوسته اي را معرفي نمود كه در همه جا مشتق پذير نبود. لينك زير نمونه اي از منحني فضا پر كن است:

فضا پرکن

در رياضي بيشتر از خود متشابه اي (( self-similar )) صحبت شده و كمتر به خود كشيدگي يا خود الحاقي (( self-affine)) پرداخته شده. خود متشابه اي يعني شكل كل دقيقا كپي از شكل جز است. و با نسبت ثابتي رشد مي كند. در اصطلاح همسانگرد (isotrpy) است .در خود كشيدگي (خود الحاقي) ((self-affine)) اجزاي شكل يعني طول وعرض آن به نسبت ثابتي تغيير نمي كند يعني بعد برخالي طولي متفاوت از بعد برخالي عرضي است .  كه به اصطلاح به آن نا همسانگرد (anisotropy) مي گويند .حوضه هاي آبريز، يك شعبه  منفرد از رود  ، رود شاخه شاخه (braided river) نمونه از  خود كشيدگي است . ساپوژنيكوف (1993)  مشخص کرد که رودخانه منحصر به فرد طبیعی و شبیه سازی شده ، هندسه پیچیده ای را نشان می دهند . خود-متشابه ای در مقیاس کوچک وخود-الحاقی در مقیاس بزرگ . رفتار خود-الحاقی رودخانه ها به خاطر نیروی جاذبه ای است که رودخانه ها را در جهت شیب رودخانه ای اصلی در جهات مختلف مقیاس گذاری می کند . لينك زير نمونه اي از خود متشابه اي را نشان مي دهد. شبكه رودخانه اي از لحاظ نحوه اتصال شبكه ها يك شكل سلف سيميلار يا خود متشابه است. اما يك كانل از رود يا يك شعبه منفرد از رود رفتار سلف افاين يا خود كشيدگي از خود نشان مي دهد. همچنين شكل حوضه آبريز در قياس با زير حوضه هاي خودش رفتار خود كشيدگي ياسلف افاين از خودش نشان مي دهد. يعني شكل حوضه به شكل گلابي است اما شكل كوچك ترين زير حوضه تقريبا شبيه دايره و يا نزديك به دايره است . در واقع شكل كل حوضه همان شكل زير حوضه است با اين تفاوت كه نسبت بزرگ نمايي طولي بيشتر از بزرگ نمايي عرضي است براي همين شكل از دايره خارج شده و به شكل گلابي تبديل مي شود

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar//

اما خود كشيدگي يا خود الحاقي:

حوضه هاي آبريز نسبت به زير حوضه ها(حوضه هاي كوچكتر كه در درون حوضه آبريز واقع شده اند) حالت سلف افاين يا خود كشيدگي دارد. مقاله زير به تفصيل به اين موضوع مي پردازد. در  مبحث زير ما درباره فراكتالها در دو مقوله رود خانه ها و توپوگرافي سطح زمين مي پردازيم

www.engineering.usu.edu/cee/faculty/dtarb/96WR02397.pdf

تصویر زیر نمونه ای از حالت خود الحاقی است ، تصویر جز ( پایه پل و ابر )  بعد از چند تکرار دفرمه شده و به شکل بادبان کشتی و آسمان تبدیل می شود :

مقاله آقاي دكتر ((ديويد تاربوتون)) صفحه 107  مقاله ، پاراگراف دوم  به اين نكته تاكيد دارد. همچنين شكل 1 در همان صفحه به خوبي مفهوم كشيدگي را بيان مي كند. ( لينك سايت دیوید تاربوتون) پروفسور تاربوتون استاد دانشگاه يوتاي آمريكا كه اكستنژنهای  SINMAP,  TARDEM ,TAUDEM در ARCGIS نتيجه زحمات اين استاد گرامي و پر تلاش است. كار هاي تحقيقاتي زيادي در زمينه حوضه هاي آبريز انجام داده است . او براي اولين بار روش D بينهايت را بجاي D8 آورد. كه در آن آب ، از مساحت تحت تاثير بالاي رود در جهات مختلف به رود وارد مي شود و شروع فرسايش از اين ناحيه صورت مي گيرد. او اين روش را بر اساس تئوري ماينتس و گابرشت بنا نهاد. وبر اين اساس برنامه اي الحاقي براي جي آي اس نوشت. كه به صورت مجاني قابل دانلود است. نكته ديگر كه بايستي متذكر شد اين است كه . وقتي از خود متشابه اي صحبت مي شود منظور خود متشلبه از لحاظ آماري است يعني شبكه هاي رودخانه اي از لحاظ آماري خود متشابه اند يعني اين مسائل بر روي ميانگين پارامتر ها سنجيده مي شود. درست همانند قوانين هورتوني كه بر روي ميانگين طول رودخانه ومساحت حوضه آبريز بنا نهاده شده است.هورتن در سال 1945 در ارتش آمريكا به مطالعه حوضه هاي آبريز پرداخت و سيستم رتبه بندي را ارائه داد كه به دليل بعضي از مشكلات در سال 1957 توسط سترالر تصحيح شدو به سيستم رتبه بندي هورتن - سترالر مشهور شد. شبعات سر چشمه رود رتبه 1 هستند . از به هم پيوستن دو رشته رود رتبه 1 رودي با رتبه 2 تشكيل مي شود ولي اگر رودي از رتبه 1 به رودي از رتبه 2 بريزد ، رتبه رود بعد از اين اتصال  همان رتبه بزرگتر يعني 2خواهد بودو الي آخر

www.engineering.usu.edu/cee/faculty/dtarb/TarbotonFractalRiverNetworksJH96.pdf

بعد ها درسال 1978 تاكوناگاي ژاپني سيستم رتبه بندي جديدي را ارائه داد كه بر اساس اصول فراكتالي و خود متشابه اي شبكه هاي رودخانه اي استوار بود . او مفهوم سيكليك يا چرخه را وارد مقوله هيدرولوژي كرد. بر اساس نظريه تاكوناگا ميانگين تعداد رودخانه هااز رتبه مثلا 1 كه از جانب (نه از بالا) به رود خانه ها يي از رتبه 2 مي ريزد برابر است با ميانگين تعداد رودخانه ها از رتبه 2 كه از جانب به رودخانه هايي از رتبه 3 مي ريزد. اين موضوع كمي گيج كننده است در صورتي كه از طريق تصوير به خوبي قابل درك است.  در تصوير زير سمت راست يك نمونه شبكه رودخانه اي است كه با سيستم تاكوناگا رتبه بندي شده . همان طور كه مشاهده مي شود  11 رشته رود با رتبه هورتني 1 در اين سيستم وجود دارد (11،12،13، همگي رتبه ي 1 در سيستم هورتني اند) تعداد رود هاي رتبه 1 كه از جانب ( نه از با لا) به رود هاي رتبه 2 مي ريزند ( يعني رود هاي رتبه 12) برابر  3 است. از طرف ديگر تعداد رود هاي رتبه 2  كه از جانب ( نه از بالا) به  رودهاي رتبه 3 مي ريزند (يعني رودهاي رتبه 23 ) برابر با 1 است . رود هاي رتبه 22 در اين محاسبه لحاظ نمي شوند چون آنها از جانب به رودها نمي ريزند. حالا ما 3 رشته رود  رتبه 12 داريم با سه رشته رودي كه دهگان آن 2 است (22، 22، 23) يعني در سيستم هورتني رتبه 2 هستند. پس سه رشته رود رتبه 12 تقسيم بر 3 ( سه رشته رود رتبه 2) برابر 1 مي شود . (ما چه 1 رشته رود رتبه 12 داشته باشيم با 1 رشته رود رتبه 2 (رتبه دهگان آن 2 باشد)و چه 3 رشته رود رتبه12 داشته باشيم با 3 رشته رتبه 2 و چه 1000 رشته رود رتبه 12 داشته باشيم با 1000 رشته رود رتبه 2 همگي نسبت هاي مساوي هم هستند.)  در حاليكه ما 1 رشته رود رتبه 2 داريم كه به رود رتبه 3 مي ريزد ( يعني رتبه 23 ) و يك رشته رود رتبه 3 داريم (33) پس 1 تقسيم  بر 1 برابر 1و از آنجا نتيجه مي دهد كه: ميانگين تعداد رود هاي رتبه12 برابر ميانگين تعداد رودهاي رتبه 23 است. تاكوناگا (1978) به اين حالت سيكليك يا چرخه مي گويد . و بدين طريق خود متشابه اي  (self-similar) را در توپولوژي شبكه هاي رود خانه اي بيان كرد براي اطلاع بيشتر مي توانيد به مقاله تاكوناگا در سال 2003 و 1978 نوشته شده رجوع كنيد:

http://www.terrapub.co.jp/e-library/ohmori/pdf/147.pdf

در تصوير با لا سمت راست مثالي از سيستم رتبه  بندي تاكوناگا است 11 منظور عدد يازده نيست بلكه يعني رودي از رتبه 1 به رودي از رتبه 1 مي ريزد سر شاخه هاي  ( سر چشمه ها) رود معمولا رقم دهگان شان 1 است اما رقم يكانشان بسته به رتبه رودي كه به آن مي ريزند متفاوت است و ممكن است رقم يكانشان 1،2،3،4،5 بسته به رتبه حوضه  تغيير كند. يعني رود خانه هاي رتبه 1 در سيستم هورتوني در سيستم تاكوناگا به صورت 11 ، 12 ، 13، 14، 15، 16 مشخص مي شود مثلا رتبه 16 ، رودي از رتبه 1 است كه به رود رتبه 6 مي ريزد. مشابه همين سيستم در ديگر رتبه ها نيز وجود دارد يعني 22 ، 23 ، 24 ، 25 ، 26 يعني رود رتبه 2 به رود رتبه 2 ميريزد (22) رود رتبه 2 به 3 بريزد (23) رود رتبه 2  به رود4 بريزد (24) رودهايي كه به رود هاي هم ارزش مي ريزند مثلا 11، 22، 33، 44، 55 اينها رود خانه هاي جانبي نيستند يعني از جانب راست يا چپ به رود نمي ريزند اين نكته در محاسبه پارامتر تاكوناگا(اپسيلون ، كا) بسيار مهم است.  از به هم پيوستن 2 شعبه رود با رتبه 11 رودي تشكيل مي شود كه رتبه آن 2 است اما اين رود بسته به اين كه به چه رتبه اي مي ريزد رتبه يكانش فعلا معلوم نيست رتبه دهگانش 2 است رتبه يكان آن زماني مشخص مي شود كه معلوم شود به چه رتبه از رودي خواهد ريخت . تا كوناگا با اين سيستم ساختار توپولوژيك (نحوه اتصال شبكه ها) شبكه هاي رودخانه اي را تشريح كرد. او در مدل تئوريك خود در سال 1978 اپسيلون را برابر 1 و كا را برابر 2 تخمين زد. (ولي حالا به دليل مشكل فرمول نويسي نمي توانم فرمولهاي محاسباتي اپسيلون و كا را در اينجا ارائه دهم لذا لينك زير مقاله اينجانب درسمينار بين المللي ‹‹ فراکتال و پیچیدگی›› است. در اين مقاله نحوه محاسبه پارامتر هاي تاكوناگا ذكر گرديده(  )) اما بعد ها دانشمندان ديگر مدل تاكوناگا را در رود خانه واقعي مورد آزمايش قرار دادند و متوجه شدند كه پارامتر ها ي تاكوناگا انحراف دارند و كمي متغيرند. تاكوناگا دليل انحراف را كوچك بودن رود خانه هاي مورد آزمون دانست و اعتقاد داشت اگر مساحت حوضه رودخانه اي و حجم شبكه هاي رودخانه اي افزايش يابد پارامتر هاي تا كوناگا به مقدار تئو ريك ( 1، 2) مجانب خواهند شد. اما اولين بار سكات پكام (1995) در تز دكتري خودش اين فرضيه تاكوناگا را رد كرد . ( سايت دكتر سکات پکهام ) او با مطالعه برروي رودخانه هاي بزرگ كنتاكي و پاودر ريور با رتبه 8 باز انحراف پارامتر هاي تاكوناگا را مشاهده كرد.چوئی (1999) ( فصل چهارم وششم اين پايان نامه به بررسي مدل تصادفي تاكوناگا مي پردازد  ) در تز دكتري خودش  مدل تصادفي تاكوناگا را بكار برده ( تز دکتری چوئی ) و از روش هاي پيشرفته آماري استفاده كرده و علت اين انحراف را در ساختار تصادفي شبكه هاي رود خانه اي ذكر كرده . او با استفاده از تابع دو جمله اي منفي و نمونه گيري تصادفي پارمتر هاي تاكوناگا را محاسبه كرده. او پارامتري را به نام آلفا معرفي كرده كه ميزان تغيير پذيري پارامترهاي تاكوناگا را ناشي از آن مي داند. هر چه پارامتر آلفا بزرگتر باشد تغيير پذيري تصادفي شبكه ها ي رودخانه اي كمتر خواهد بود . چوئي با استفاده از مدل مونت كارلو ، الگوريتم متروپليس به بررسي پارمتر تاكوناگا پرداخت او مشاهده كرد كه درسطح 95 درصد ،اپسيلون وكا در محدوده اي دور از عدد 1 براي اپسيلون ودور از 2 براي كا پراكنده اند و فرض تاكوناگا بر اساس قوانین بنیادین آماری رد شد. او با بيان نمودن 2 نوع تغيير در حوضه آبريز علت انحراف پارامتر هاي تاكوناگا را توجيه  كرد . 1 تغيير تصادفي كه وابسته به آلفا است و با افزايش مساحت حوضه آبريز اين تغيير كم مي شود. ولي همچنين از يك حوضه رودخانه اي به حوضه ديگر متفاوت است(مثلا آلفاي رود خانه كنتاكي برابر 32.6 است حال اينكه آلفاي رودخانه پاودر برابر 16 است)  2 تغيير فضايي است كه به ويزگي هاي زمين شناسي و پيچيدگي هاي ژئو مورفولوژيك ، شيب حوضه ، آب وهوا به طور كلي كنترل كننده هاي دروني و بيروني وابسته است. وي به يكنواختي حوضه از لحاظ تجانس سنگ ها اشاره كرد و معتقد است حوضه هايي كه از تنوع سنگ شناسي بيشتري برخوردارند  انحراف بيشتري دارند. اینجانب نیز (پرهیزی .ِ۲۰۰۶ ) مدل جبری تاکوناگا را در رودخانه شفارود بکار بردم. اپسیلون درشفارود ۱.۳ و کا برابر ۲.۴ بدست آمده است. دلیل این انحراف از مقدار تئوریک( ۱و۲) طبق نظرات دانشمندان فوق الذکر : ۱ - تغییر تصادفی ۲ - تغییر فضایی که شامل پر شیب بودن حوضه تنوع سنگ شناسی و تکتونیک می باشد. همچنین بر طبق نقشه زمین شناسی ومطالعات میدانی  یک گرابن در ارتفاع ۲۱۰۰ متری وجود دارد که با زاویه حدودا ۹۰ درجه شبکه رودخانه های رتبه ۱ و ۲ را قطع می کند. به همین دلیل در ساختار خود متشابه ای شبکه رودخانه ای تاثیر گذاشته است. خوب ممکنه فکر کنید که این پارامترها (اپسیلون ، کا ، بعد برخالی ) چه ربطی به موضوع داره؟  گیریم اینها رو هم فهمیدیم چه کاربردی داره؟ دونستن ساختار برخالی شبکه رودخانه ای در رابطه با هیدروگراف واحد و روند یابی سیل در رود تاثیر بسزایی دارد همچنین ساده سازی و خلاصه سازی شبکه های رودخانه ای( مثلا تبدیل حوضه رتبه ۶ به حوضه رتبه ۵ باعث کاهش پیچیدگی شده از طرفی این خلاصه سازی تاثیر کمی بر روی هیدروگراف سیل دارد، چون شبکه ها ی رودخانه ای سلف سیمیلار یا خود متشابه اند یعنی تعداد میانگین رود از رتبه مثلا ۱۲ برابر تعداد رودهای رتبه ۲۳) جهت کاهش پیچیدگی ژئومورفولوژیک در حوضه آبریز بسیار مناسب وکاربردی است. 

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/gasket/

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/gayla_chandler/

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/

(multifractal) ‌چند برخالي: (جايي كه احتمال و هندسه و فيزيك همديگر را ملاقات مي كنند و از آنجا به تمام علوم گسترش  مي يابند) 

يك بعد برخالي ، ممكن است هميشه براي نمايش رفتارهاي پيچيده و نامتجانس پراكندگي هاي فضايي توپوگرافي كافي نباشد. گسترش رو به رشد رويكرد مونوفراكتالي (تك برخالي) اخير ، داده ها را با مجموعه فراكتالي ، بجاي بعد منفرد فراكتالي توصيف مي كند . اين مجموعه طيف چند برخالي (multifractal spectrum) ناميده مي شود و روش توصيف تغيير پذيري بر اساس طيف سنجي چند برخالي به آناليز چند برخالي (multifractal analysis) معروف است( فريش و پاريسي ، 1985) . روش چند برخالي به اندازه خود متشابه اي آماري ( statistical self-similar) دلالت دارد كه مي تواند به صورت تركيبي از مجموعه هاي متقاطع برخالي (interwoven fractal sets) مطابق با نماي مقياس گذاري نمايش داده شود. تركيبي از همه مجموعه هاي برخالي طيف چند برخاليي را ايجاد مي كند كه تغيير پذيري و ناهمگني متغييرمورد مطالعه را مشخص مي كند. مزيت رويكرد چند برخالي اين است كه پارامتر هاي چند برخالي مي توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند.(Cox and Wang, 1993)

لینک زیر در مورد مالتی فراکتالهاست:

http://www.morphographic.com/Diversions/MaxPlugins/Diversions_Experiments.htm

در سال( 1987 ) لاو جوي و شرتزر مبحث مالتي فراكتال يا چند برخالي را در آناليز توپوگرافي سطح زمين آوردند و به بحث در مورد متفاوت بودن نماي مقياس گذاري در نواحي مختلف توپوگرافي خاتمه دادند.  آناليز مونو فراكتال يا تك برخالي از نيمرخ توپوگرافي در نقاط مختلف نتايج متفاوتي ارائه مي داد:

( Clarke (1986) found the fractal dimension of the USGS DEM of the San Gabriel mountains, California to be 2.19. Huang and Turcotte found the mean fractal dimension from USGS 1degree DEMs of Arizona to be 2.59 (Huang and Turcotte, 1989) and Oregon to be 2.586 with a standard deviation of 0.15 (Huang and Turcotte, 1990). Deitler and Zhang (1992) found the characteristic fractal dimension of Swiss alpine topography to be 2.43. Rees (1995) who examined topographic profiles of glaciated regions (Snowdonia, UK) and ice masses (Svalbard) using variograms, found D to vary between 1.1 (Snowdonia) through 1.3 (lowland UK terrain) to 1.4 for large ice masses.)

 مدل شرتزر و لاوجوي خلاصه اي از مدل لوگ نرمال است. اين مدل به  استفاده از توزيع خانواده آلفاي پايدار دلالت دارد كه خلاصه اي از توزيع گوسي است به طور مثال شامل توزيع هايي با واريانس بي نهايت است. كولموگروف(1962) با تشريح جريانات آشفته در فيزيك( ديناميك غير خطي) به بررسي پيچيدگي و آشفتگي پرداخت. وي همچنين از توزيع آلفاي پايدار در اين راه استفاده نمود . كاربرد ديگر توزيع آلفاي پايدار نقش آن در قضيه حد مركزي است . بر طبق قضيه حد مركزي مجموع تعداد متغير هاي تصادفي با واريانس محدود به توزيع نرمال ميل خواهد كرد ضمن اينكه تعداد متغير افزايش مي يابد. اما بر اساس نظريه كولموگروف مجموع تعداد متغير هاي تصادفي با توزيع تواني كه به صورت( يك تقسيم بر قدر مطلق ايكس به توان آلفاي بعلاوه يك) كاهش مي يابد ، به توزيع آلفاي پايدار ميل خواهد كرد ضمن آنكه تعداد متغير ها افزايش مي يابد( و بنابراين واريانس نامحدودي دارد) بنوا مندلبوت دريافت كه تغييرات قيمت كتان از توزيع آلفا پيروي مي كند كه آلفاي آن برابر 1.7 است. همچنين توزيع آلفای پایدار در طيف سنجي spectrometry ( توپوگرافي ، الكترومغناطيس ، داده هاي حاصل ار رادار ، و...) كاربرد دارد .

و در مورد تئوري تعادل كولموگروف:

کولموگروف

بعد ها دانشمندان ديگر  نشان دادند كه براي گشتاور هاي پايين تر ديگر لزومي ندارد كه به محاسبه بينهايت متغير بپردازيم ( طبق نظریه کولموگروف) بلكه چهار متغير كافي است لذا با كمي تغيير مدل كولموگروف براي آناليز طيف سنجي بكار گرفته شد لينك زير شكل تغيير يافته مدل كولموگروف و كاربرد آن در آناليز طيف سنجي توپوگرافي رانشان مي دهد صفحه ۸-۲( http://www.temple.edu/environment/Papers/wrr_lt.pdf )

http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_extension_theorem

http://www.answers.com/topic/kolmogorov-s-zero-one-law

 بر اين اساس شرتزر و لاوجوی (۱۹۸۷) مدل ( اس . ال ) را ارائه دادند. توزيع آلفا به چهار پارامتر وابسته است. اما در مطالعه مالتي فراكتال ها دو تا از پارامتر ها ثابت در نظر گرفته مي شوند. از اينرو تنها دو پارامتر آلفا و (c1) مورد توجه قرار مي گيرند

http://www.physics.mcgill.ca/~gang/multifrac/index.htm

http://www.nonlin-processes-geophys.net/13/541/2006/npg-13-541-2006.pdf

اين بحث ادامه دارد...