برخال و طبیعت

روش مربع شماری جهت محاسبه بعد فراكتالي

چه رابطه بين طول يك شي (يا مساحت يا حجم) و قطرش وجود دارد؟ جواب دادن به اين سوال باعث مي شه تا ما درباره بعد بيشتر فكر كنيم.اجازه بدين چند مثال بررسي كنيم. اگر سعي كنيم يك مربع واحدي را با مربعات كوچكتر به طول ضلع $\epsilon$ بپوشانيم، چه تعداد مربع نياز خواهيم داشت؟ واضع است كه جوابش (( $\epsilon^{2}_{}$ / 1)) است. چگونه قطعه اي به طول ۱ را بپوشانيم؟ اينجا فقط به $\epsilon$ / 1 مربعات كوچك نياز داريم.

شكل ۲: پوشش يك منحني، يك سطح و مكعب سه بعدي با مكعباتي به قطر $\epsilon$
$\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=turtle4-301.eps,width=1.5in} \hfil \psf... ...s,height=1in} \hfil \psfig{figure=turtle4-306.eps,height=1.25in}} \end{figure}$

بعد ((مربع شماري)) براساس مجموعه S حاوي n را به صورت زیر تعریف می كنیم: به ازائ $\epsilon$ > 0 اجازه دهيد $\Cal{S})$ ) $\scriptstyle \epsilon$ N حداقل تعداد مكعبات بعد به طول ضلع $\epsilon$ مورد نياز جهت پوشاندن S باشد. اگر عدد d وجود داشته باشد به طوريكه:

N $\scriptstyle \epsilon$ ( $\displaystyle \Cal{S}) \sim 1/\epsilon^d \qquad\text{as}\qquad \epsilon\rightarrow 0,$

آن وقت می گوييم كه بعد مربع شماري S برابر d است.

توجه كنيد كه بعد مربع شماري برابر d است اگر و فقط اگر ثابت مثبت k به صورت زير وجود داشته باشد:

k = $\displaystyle {\frac{N_{\epsilon}(\Cal{S})}{1/\epsilon^d}}$ $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}^{}$

از آنجايي كه دو طرف معادله بالا مثبت است اگر از دو طرف لگاريتم بگيريم رابطه محفوظ خواهد ماند:

با حل كردن ؛ d حاصل می گردد

توجه كنيد كه لگاريتم كا حذف مي شود بخاطر اينكه ثابت است با اين حال ضمن اينكه اپسيلون به سمت صفر ميل مي كند ، مخرج بينهايت مي شود . همچنين از آنجاييكه 0 < $\epsilon$ < 1 لگاريتم اپسيلون منفي است بنابراين همانگونه كه انتظار داريم d مثبت است.

محاسبه برخال كخ با روش مربع شماري:

پوشش منحني كخ با مربعات كوچكتر وكوچكتر

.

N(1/3) = 3

N(1/9) = N((1/3)²) = 12 = 3*4

N(1/27) = N((1/3)³) = 48 = 3*4²

و در حالت كلي

N((1/3)ⁿ) = 3*4^n-1

(Log(1/r₀),Log(N(r₀)))

= (Log(1), Log(1))

= (0,0)

(Log(1/r₁),Log(N(r₁)))

= (Log(3), Log(4))

= (0.477, 0.602)

(Log(1/r₂),Log(N(r₂)))	= (Log(9), Log(12))	= (0.954, 1.079)
(Log(1/r₃),Log(N(r₃)))	= (Log(27), Log(48))	= (1.431, 1.681)
(Log(1/r₄),Log(N(r₄)))	= (Log(81), Log(192))	= (1.908, 2.283)
...

از رابطه N((1/3)ⁿ) = 3*4^n-1 ما مي تونيم ارزش دقيق d_b بادبان كخ (منحني كخ) را محاسبه كنيم

d_b	= lim_{r_n->0}Log(N(r_n)) / Log(1/r_n)
	= lim_n->infinityLog(N(r_n)) / Log(1/r_n)
	= lim_n->infinityLog(N((1/3)ⁿ)) / Log(1/((1/3)ⁿ))
	= lim_n->infinityLog(3*4^n-1) / Log(3ⁿ)
	= lim_n->infinity((n-1)Log(4) + Log(3)) / (nLog(3))
	= lim_n->infinity(nLog(4) - Log(4) + Log(3)) / (nLog(3))
	= lim_n->infinity(nLog(4))/(nLog(3)) + (-Log(4) + Log(3))/(nLog(3))
	= Log(4)/Log(3) = 1.26186 ...

بنابراين بعد مربع شماري منحني كخ حدودا برابر ۱.۲۶ است.

محاسبه بعد یك خط با روش مربع شماري:

پوشش يك قطعه خط با مربعات كوچكتر وكوچكتر كه الگوي آن در جدول زير مشاهده مي شود.

N(1) = 1

N(1/2) = 2 = 1/(1/2)

N(1/4) = 4 = 1/(1/4)

N(1/8) = 8 = 1/(1/8)

و در حالت كلي

N(r) = 1/r.

محاسبه بعد يك مربع كامل با روش مربع شماري:

پوشش يك مربع كامل با مربعات كوچكتر و كوچكتر كه الگوي آن در جدول زير مشاهده مي شود

N(1) = 1

N(1/2) = 4 = 1/(1/4) = (1/(1/2))²

N(1/4) = 16 = 1/(1/16) = (1/(1/4))²

N(1/8) = 64 = 1/(1/64) = (1/(1/8))²

و در حالت كلي

N(r) = (1/r)²

تمام مطالب فوق از سايت زير ترجمه شده است:

http://www.math.sunysb.edu/~scott/Book331/Fractal_Dimension.html

لینك زير روش مربع شماري را در محاسبه بعد فراكتالي كهكشان نشان مي دهد:

http://www.ees.nmt.edu/~davew/P362/boxcnt.htm

دست نوشته هاي هاچينسون در مورد فراكتال:

http://www.math.utah.edu/~korevaar/ACCESS2002/fractaltalk/

و برنامه فراکتالی برای دانلود به لینک زیر کلیک کنید:

http://www.ultrafractal.com/download.html

ادامه بحث مالتی فراکتالها :

در پست اول در مورد مالتی فراکتالها صحبت کردیم . گفتیم که تحقیقات اخیر نشان داده که توپوگرافی مالتی فراکتالی است. روش چند برخالی به اندازه خود متشابه اي آماري ( statistical self-similar) دلالت دارد كه مي تواند به صورت تركيبي از مجموعه هاي متقاطع برخالي (interwoven fractal sets) مطابق با نماي مقياس گذاري نمايش داده شود. استفاده ازقوانین مقیاس گذاری در توپوگرافی حداقل به دوران ونینگ ماینسز (۱۹۵۱) بر می گردد که طیف سنجی توپوگرافی (E(k ( کا , طول موج است) را به صورت قانون توانی کا به توان منفی بتا با نمای طیفی B=2 نشان داد. اگر توپوگرافی قانون توانی طیف سنجی داشته باشد پس خطوط همتراز ( مانند خطوط ساحلی) مجموعه های برخالی هستند. آنها بدون تانژانت اند (پرین (۱۹۱۳ ) كه به خاطر اثبات نظريه اينشتين (حركت براووني) جايزه نوبل فیزیك ۱۹۲۶ را دريافت كرد http:www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1926/) و طول ناپذیرند ( بینهایت در طول ، شتاینهاوس (۱۹۵۴)). به خصوص ریچاردسون (۱۹۶۱) دریافت که طول سواحل مختلف به دنبال قا نون توانی با طول خط کش های استفاده شده نسبت به مقیاس اش پراکنده است .مندلبروت (۱۹۶۷) در مقاله معروفش (( طول ساحل بریتانیا چقدر است)) این نمای مقیاس گذاری را به صورت ابعاد برخالی نشان داد. بعد ها با ظهور مدلهای حرکت براونی برخالی ( fbm) چشم انداز زمین ( مندلبروت (۱۹۷۵) ، گودچايلد(۱۹۸۰))، بسیاری از مطالعات برخالی توپوگرافی به همان خوبی مطابق با شبیه سازی های ( گوسی)توپوگرافی ساخته شد. تخمین های غیر مستقیم (واحد) زیادی از ابعاد برخالی براساس مقاطع و سطوح توپوگرافی،همچنين استفاده از روشهای مختلف جهت دیدن اينكه توپوگرافی آماره ای برخالی است، وجود داشته است . روشهای غیر مستقیم از طریق فرض قیاسی وجود تک بعد برخالی شرو ع می شود سپس روابط بسیار تخصصی بکار گرفته می شود تا تک بعد فراکتالی فرضی از توابع ساختاری (واریوگرام ها )، طیف سنجی توانی یا دیگر نما های آماری استنباط شود.( به عنوا ن مثال می توانید روش واریوگرام را در کارهای بورو (۱۹۸۱) مارک و آرونسون(۱۹۸۴) نگاه کنید ، برای روش طیف سنجی توانی کار های گیلبرت (۱۹۸۹) ، هاونگ و تورکات(۱۹۸۹، ۱۹۹۰) و روش ناهموار سازی نمایی به کار های دیتلر و ژانگ (۱۹۹۲) نگاه کنید.) همچنین می توانید به کار های کلینکنبرگ و گودچایلد (۱۹۹۲) خو و همکاران (۱۹۹۳) جهت بازنگری وبحث در مورد نتایج چنین فرایندهای مونوفراکتالی نگاه کنید.

در عوض استنباط غیر مستقیم مونوفراکتالی، تخمینهای مستقیم بعد فراکتالی توپوگرافی وعمق سنجی ( به عنوان مثال استفاده از روش مربع شماری) به طور شکفت انگیزی نادر است. در عرصه های مونوفراکتالی ( وجود یک بعد برخالی) مانند مدل براونی برخالی ، بعد مربع از آستانه استفاده شده جهت تعریف مجموعه، مسقل است، لاوجوی وشرتزر (۱۹۹۰)نشان دادند که این موضوع برای توپوگرافی کاملا غیر واقعی است.در آنالیز توپوگرافی فرانسه با قدرت تفکیک ۱ کیلومتر آنها نشان دادند که بعد مربع به صورت سیستماتیک از۲ (حد اکثر ممکن) به صفر (حداقل) کاهش می یابد ضمن آنکه ارتفاع زیاد می شود.این تحقیق به وضوح نشان داد که مونوفراکتالها بهترین تقریب توپوگرافی نزدیک به میانگین هستند. خیلی مناسب است که توپوگرافی به صورت عرصه ثابت مقیاس گذاری تلقی گردد به طور کلی به اندازه های مالتی فراکتالی و توابع نمایی نیازمند است( به تک نمای مقیاس گذاری مثل بعد برخالی ترجیح داده می شود) .پس بینهایتی از ابعاد فراکتالی( یکی برای هر آستانه یا معادل یکی برای هر گشتاور آماری) جهت توصیف کامل مقیاس گذاری لازم است.

http://www.morphographic.com/Diversions/MaxPlugins/Diversions_Experiments.htm

به خصوص به دنبال آنالیز های چند برخالي بر اساس داده هاي بزرگ توپوگرافي جهاني (گگنان وهمكاران، ۲۰۰۳) پي بردند كه چند پيمانه اي ( multiscaling) همسانگرد ۴۵٪+-ازمقياس هاي سياره اي كمتر از ۴۰ متر را شامل مي شود، درك اهميت اين نتايج ضرورت يافته است (چقدر با تنوع ژئومورفولوژي سازگار است؟) و مستلزم مدل سازي است.( چه محدوديت هاي رخ مي دهد با توجه به مدلهاي ژئوديناميكي كه بايد استفاده كنيم؟)

ادامه دارد

در سال (۱۹۸۷) شرتزر و لاوجوی مبحث مالتی فراکتال یا چند برخالی را در آنالیز توپوگرافی سطح زمین آوردند و به بحث در مورد متفاوت بودن نمای مقیاس گذاری در نواحی مختلف توپوگرافی خاتمه دادند.آناليز مونو فراكتال يا تك برخالي از نيمرخ توپوگرافي در نقاط مختلف نتايج متفاوتي ارائه مي داد.

در پاسخ به سوال(( تعریف جامع ومانع از تابع لجستیک و..))

(( مدل فازی فراکتالی یا درست تر بگم فازی - مالتی فراکتال یک ایده ای بود که من به آن فکر می کردم بعد یک بار تو اینتر نت سرچ کردم دیدم تنها یک مقاله با این فکر وایده ام پیدا کردم از طرفی مصداق این ایده ام تغییر رنگ برگها هستند .درضمن مقاله آنجلا کاکسه ( http://www.vector.org.uk/archive/v192/coxe192.htm ) مدل فازی- فراکتالی است نه فازی -مالتی فراکتالی . دوم اینکه من در حدی نیستم بخوام تعریف کنم چه برسه تعریف جامع و مانع باشه.از طرفی من فکر می کردم تو هر کتاب ریاضی تابع لجستیک تعریف شده باشه من رشته ام ریاضی نیست که بخام تابع لجستیک تعریف کنم من به دلیل اینکه می خواستم برخال و رشته ام رو مطالعه کنم به اجبار با این موضوعات روبرو شدم ولی درکی عمیق ازشون ندارم ازشون عبور کردم . من چیزی در مورد تابع لجستیک نمی دونم. اگه دوست داشته باشی می تونم مطالبی رو از اینترنت برات پیدا کنم وترجمه کنم سایت های آموزشی زیادی هست که اینها رو توضیح می ده من در حال حاضر به مدل فازی مالتی فراکتالی دارم فکر میکنم احتیاج به مطالعه بیشتری دارم . در پست پیشین هم گفتم که تا دقیق قوانین فازی رو یاد نگیرم به ترکیب این دو موضوع نخواهم پرداخت.در کارتوگرافی جهت نمایش عوارض بر روی نقشه از ترکیب خطوط استومپاژ دو رنگ ، طیف رنگی ایجاد می شود که بی شباهت به فازی نیست. من حالا در اینترنت دنبال این موضوع هستم تصویر زیر یك مدل فازي- فراكتالي است :

برگ فازي ـ فراكتالي

مطالبی در مورد تابع لجستیک:

تابع لجستيک يا مدلهاي منحني لجستيک ،منحني s از رشد مجموعه p .مرحله پيشين رشد تقريبا نمايي است. همچنانكه رقابت زياد مي شود ، رشد آهسته مي شود. ودر حالت بلوغ رشد متوقف مي شود. رشد نا محدود و نا متعادل مي تواند به صورت نرخ جمله اي از rKP ( درصدي از p) مدل سازي شود.اما سپس همانطور كه جمعيت رشد مي كند بعضي از اعضاي p ( مدلسازي شده به صورت rP^2-) در رقابت با بعضي ازمنابع بحراني( كه تنگراه مدلسازي شده با k ناميده مي شود ) با يكديگر تداخل ميابند. اين رقابت نرخ رشد را تقليل مي دهد تا اينكه مجموعه p رشدش متوقف مي شود ( اين حالت بلوغ ناميده مي شود).

تابع لجستيك به صورت فرمول رياضي زير مشخص مي شود:

به ازائ پارامتر های حقیقی a,m,n و تاو. این تابع در عرصه های مختلف از بیولوژی تا اقتصاد کاربرد دارد

http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function

http://www.mcasco.com/explorin.html

http://classes.yale.edu/fractals/Chaos/BifDiag/BifDiag.html

محاسبه بعد برخالی كهكشان:( روش مربع شماري)

http://www.ees.nmt.edu/~davew/P362/boxcnt.htm

+ نوشته شده در Sat 18 Nov 2006ساعت 19:42 توسط رامین |

لجستيك،مالتي فراكتال ، فازي و جي آي اس

از سميه خانم ممنونم از بابت تذكري كه به بنده دادن در مورد رابطه تابع لجستيك و مالتي فراكتال ها

اين دو كلمه رو در گوگل سرچ كردم مقالات جالبي بدست آوردم تازه متوجه شدم مدلهاي جديد و هيبريد فازي - نئورال وجود دارن( فازي و شبكه هاي عصبي) كه به مطالعه سري هاي زماني و رفتار سلف افاين منحنی ها مي پردازد

http://sulcus.berkeley.edu/lab/group/rk/ijis3.pdf

مقالاتی مفید در مورد تابع ل‍جستیك ومالتی فراكتالها :

http://www.europhysicsnews.com/full/36/article11.pdf

http://www.cbpf.br/~vallejos/reprints/dasilvaCSF02.pdf

http://ontario.cfe.cornell.edu/publications/gamarrametapopulations.pdf

http://www.math.lsa.umich.edu/~annacg/papers/FGW98.sigcomm.pdf

http://agron.scijournals.org/cgi/reprint/91/6/1033.pdf

و مقاله ۲۰۰۶ آقاي گگنون وهمكاران در مورد مالتي فراكتالي توپوگرافي سطح زمين:

http://www.nonlin-processes-geophys.net/13/541/2006/npg-13-541-2006.pdf

مالتي فراكتال و رفتار شبكه هاي رودخانه اي، آقاي بارتلو و همكاران:

http://www.copernicus.org/EGU/hess/hs4/4/4_105.pdf

روشي براي بازبيني اشكال از طريق تبديل لژاندر:

http://www.rfai.li.univ-tours.fr/rapports/car02b.pdf

و اين هم كاربرد مالتي فراكتال در بارندگي از خانم افي فوفولا استاد يوناني الاصل دانشگاه مينه سوتا:

www.ce.umn.edu/~foufoula/documents/presentations/efg_pr002.ppt

خانم فوفولا پيش از اين مقاله اي در مورد سلف افايني رودخانه ها با همكاري دكتر ساپوژنيكوف(استاد دانشگاه مينه سوتا) نوشته بودند واين هم وب سايت شون:

http://www.ce.umn.edu/~foufoula/

و اما فازي ومطالعات مورفومتري حوضه هاي آبريز:

این هم نقشه شیب حوضه رودخانه ای شفارود. بدلیل وارد نكردن تمام قلل داخل حوضه بعضي خط الراس ها به صورت پلان ظاهر شده. به ماهيت مالتي فراكتالي و فازي بودن شيبها دقت كنيد:

http://photos1.blogger.com/blogger/3701/4177/1600/slope.jpg

آقاي وود در تز دكتري خودش برنامه جي. آي. اسي را در ۲۰۰۰۰خط به زبان C نوشته است كه در آن از منطق فازي جهت نمايش هر چه بهتر دامنه استفاده شده و قلل به صورت فازي نمايش داده مي شود. همچنين در اين برنامه مي توان بعد برخالي پروفيل توپوگرافي را در حالت مونو فراكتال بدست آورد. تز دكتري آقاي وود:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/phd/

نمايش رستري قلل در گلنكو سكاتلند

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/image12.html

انحناي سطوح در ماونت راينر واشنگتن:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/image18.html

قله هاي فازي در نقشه توپوگرافي:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/image10.html

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/index.html

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/landserf220/doc/userguide/analysis.html

و محاسبه بعد مونو فراكتالي نيمرخ توپوگرافي در لند سرف با استفاده از روش واريوگرام:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/landserf220/doc/addons/focalD.html

+ نوشته شده در Mon 13 Nov 2006ساعت 15:21 توسط رامین |