خلاصه ای از روند تکاملی هندسه برخالی
برخال اولین بار توسط بنوا مندلبرو در سال ۱۹۷۵ ارئه داده شد.در بسیاری از وبلاگها مشاهده شده که تاریخ دقیقی از این موضوع ارائه نداده اند. ولی من در اینجا با صراحت کامل ذکر می کنم که بنوا مندل برو تحقیقات خودش رو از سال ۱۹۶۰ شروع کرده ولی اولین بار کلمه برخال fractal رو در مقاله سال ۱۹۷۵ ( Stochastic Models for Earth`relief, the shape and the fractal dimension of coastlines, and the number-area rule for islands ) ذکر کرده اما مشتقات این کلمه مثل fractional dimensionبعد کسری در مقاله سال ۱۹۶۷با عنوان ( How long is the coast of britain? Statistical self-similarity and fractional dimension.) ذکر شده است. بعد ها او در مقالات بعدیش به توسعه این هندسه پرداخته است. او مطالعات پراکنده دانشمندان دیگر را در قالب هندسه منسجمی ارائه داد. درسال ۱۹۶۰ هواشناس آمریکایی ادوارد لورنز برای شبیه سازی سیستمهای جوی از معادلات غیر خطی استفاده می کرد. او به این نکته پی برد که تغییرات کوچک ( حتی ۱هزارم) در شرایط اولیه باعث تغییرات زیادی در نتیجه می شود. بعد ها این پدیده را اثر پروانه نامیدند. یعنی تنها با گرد کردن اعداد بعد از چهارمین رقم اعشار یک چنین اختلاف بزرگی در نتیجه حاصل شده است این بدین معنی است که اگر پروانه ای در چین بالهاشو بر هم بزنه نتایج حاصل از برخورد بال این پروانه با هوا باعث می شه که در آریزونا توفانی ایجاد بشه. این یک تمثیل است. لورنز برای مدلسازی عمل رفتار آشوبناک سیستم گازی در اتمسفر سه معادله از عرصه فیزیک دینامیک سیالات به عاریه گرفت سپس با کمی خلاصه سازی به صورت زیر ارائه داد:
(dx/dt =Δ*(y-x
dy/dt=r*x-y-z*z
dz/dt=x*y-b*z
تصویر فوق مجذوب کننده لورنز Lorenz attractor یا سیستم خط سیر لورنزTrajectory Lorenz Systemنامیده می شود که فوق العاده به شرایط اولیه حساس است
مجذوب کننده لورنز ساختار سه بعدی مطابق با رفتار دراز مدت جریان آشوبناک است که شکل پروانه وار دارد. تصویر فوق همچنین چگونگی حالت سیستم دینامیک را در بازه زمانی و در الگوی تکرار نشونده پیچیده ای نشان می دهد ( سه متغیر سیستم سه بعدی). در سال ۲۰۰۱ فرمول لورنز توسط وارویک توکر اثبات شد که برای مجموعه مشخصی از پارامترها ، سیستم، رفتار آشوبناکی از خودش نشان می دهد که امروزه مجذوب کننده نا متجانس Strange Attractor نامیده می شود. مجذوب کننده نامتجانس در این مورد، فراکتالی با بعد هاوسدورف بین ۲ و ۳ است. گراس برگر Grassberger در سال ۱۹۸۳ بعد هاوسدورف را برابر با 2.06 ± 0.01 تخمین زده است(ویکیپدیا )
دلتا بیان کننده چسبندگی سیال ماده نسبت به هدایت گرماییش است. r اختلاف درجه حرارت بین بالا وپایین یک سیستم گازی است b نسبت عرض به ارتفاع جعبه فرضی است که سیستم گازی در آن تعریف شده است. او با ارائه سه معادله دیفرانسیل حالتی را بیان کرده که در آن تابع به صورت آشوبناک در می آید که در اصطلاح به آن کیاس chaos می گویند .یکی از خصوصیات تابعی که رفتار آشوبناک دارد این است که نسبت به شرایط اولیه حساس است. کوچکترین تغییر در شرایط اولیه با عث تغییر فاحش در نتیجه می شود. برخال و تابع آشوب رابطه تنگاتنگی با هم دارند . جولیا ست یا مجموعه جولیا تابع ساده ای است با ساختار برخالی که در نهایت رفتار آشوبناکی دارد. اولین تجربه عملی تابع آشوبناک مربوط به آزمایش چرخ آسیاب آبی است. ابتدا آب با سرعت کم به روی چرخ آسیاب آبی ریخته می شد. و چرخ به حرکت در میامد با افزایش سرعت آب ، سرعت چرخ بیشتر و بیشتر می شد .تا اینکه در یک سرعت آستانه ای از آب ، ناگهان چرخ توقف کوتاهی کرد و در جهت عکس به حرکت در آمد پس از مدتی چرخیدن دوباره توقف کوتاهی نمود وسپس در جهت اولیه به حرکت در آمد این عمل بارها بارها تکرار شد.اولین بار کمپانی گلد استار goldstar در سال ۱۹۹۳ ماشین لباسشویی تولید کرد که با سیستم آشوب (کیاتیک) کار می کرد. شیوه کار آن به گونه ای بود که آب در داخل ماشین به صورت تصادفی به اطراف پاشیده می شد. شرکت دوو dawoo در سال ۱۹۹۰ ماشین جوشانی را ساخت که سیستم آشوبناکی پیروی می کرد با این تفاوت که بخش کنترل دستگاه (مدار منطقی) با منطق فازی کار می کرد. مدار اتی که بر اساس منطق فازی کار می کردند قادر بودند مقادیر بین صفر و یک را نیز انتخاب کنند. (درست یا غلط)
نظریه برخالی از زمان تولد تا کنون مراحل تکاملی رو پشت سر گذشته که می تونیم به صورت زیر طبقه بندی کنیم:
A:حالت مونوفراکتال یا تک بعد برخالیmonofractal که یک بعد نمایانگر نحوه تشکیل شکل برخالی است
1: خود متشابه ای یا خود همانندی جبریdeterministic self-similar
2: خود متشابه ای آماری statistical self-similarکه بعد برخالی نتیجه محاسبه مقادیر میانگین ارزشها است
B: مالتی فراکتال یا چند برخالی multifractal :مالتی فراکتال اولین بار در سال ۱۹۹۷ توسط بنوا مندل برو ،ای. کالورت ، ای. فیشر معرفی شد. سیستم مالتی فراکتالی خلاصه ای از سیستم فراکتالی است بطوریکه یک نمای منفرد بعد فراکتالی، توان بیان دینامیک سیستم را ندارد و طیف پیوسته ای از نماها برای این منظور مورد نیاز است .به این نما بعد فردیت یا تکینگی singularity گفته می شود.این نما درجه تکینگی محلی یا نظم حول یک نقطه رو بیان می کند. به طور مجموع همه نقاطی را که در نمای فردیت یکسانی سهیمند را تشکیل می دهد که این مجموعه نماها مجموعه های برخالیند. توپوگرافی سطح زمین ، ابرها، جریانات آشفته سیالات ،ضربان قلب و... مواردی از حالت مالتی فراکتالیند. برای اطلاع بیشتر می توانید به سایت آقای شاون لاوجوی و شرتزر مراجعه کنید:
لاوجوی از دانشگاه مک گیل مون رئال کانادا
لینک
لینک
و آقای دانیل شرتزر از دانشگاه مادام و پیر کوری فرانسه
لینک
این دو در زمینه کاربرد مالتی فراکتال در ژئو فیزیک و شبیه سازی بارندگی ، مطالعه ابرها به نتایج جالبی رسیده اند. آنها کارهای کولموگرف و دیگران را دنبال کرده اند
بخشهایی از این مطالب ترجمه ای است از سایت :
