برخال و طبیعت

مقدمه ای به برخالها:

برخال چیست؟

بنوا مندلبروت

شکل هندسی ناهموار و شکسته شده ای که به بخش هایی تقسیم می شود به طوری که هر بخش ( دست کم تقریبا) کپی کوچک شده از شکل کل باشد.

از لحاظ ریاضی

مجموعه نقاطی که بعد برخالی شان متجاوزاز بعد توپولوژی شان باشد.

سیستم های آشوبناک:

تصویرمندل بروت کلاسیک زیر تصویری است که تا حد زیادی در سیستم های برخالی وآشوبناک مشهور بوده است.مجموعه مندل بروت از طریق تکنیک های کلی ایجاد می شود در آن تابع ای از فرمz+1=f(zn)0  استفاده می شود تا دنباله ای از متغیر های مخطلط ایجاد کند.در مورد مجموعه مندل بروت تابع  f(zn)=zn^2 +z0  است.این دنباله ها برای هر نقطه آغازین در بعضی بخشهای صفحه  (مترجم :مختصاتی ) مخطلط ایجاد می شود.

هندسه برخالی:

تقریبا تمام فرمهای استفاده شده برای سازه های ساخته شده بشری ، اشیایی هستند که به هندسه اقلیدسی تعلق دارند، آنها شامل: خطوط ،سطوح، حجمهای مستطیلی، کمانها، استوانه ها، کره ها و...هستند. این عناصر می توانند  تعلقاتی به بعد صحیح هر کدام ۱،۲،۳ تقسیم شوند.این مفهوم بعد را می توان هم به صورت شهودی وهم ریاضی توضیح داد. به صورت شهودی ما می گوییم که یک خط یک بعدی است چونکه فقط برای تعریف هر نقطه بر آن یک عدد لازم است.آن عدد می تواند فاصله از ابتدای خط باشد. این تعریف به خوبی برای تعریف محیط دایره ، منحنی یا مرز هر شی بکار می رود.

 یک سطح دو بعد دارد چونکه ما برای تعریف هر نقطه در سطح آن به دو نقطه نیاز داریم. راههای زیادی برای ترتیب و تعریف این دو عدد وجود دارد (مترجم: منظور تعریف نقاط بر سطح بر اساس مختصات قطبی ویا مختصات  کارتزین (دکارتی) است)ولی ما به صورت طبیعی یک سیستم مختصاتی متعامدی ایجاد می کنیم. مثالهای دیگری از اشیای دو بعدی سطح کره  یا سطح پیچ خورده اختیاری هستند.

 حجم بعضی از اشیای جامد بر اساس همان قاعده بالا سه بعدی است. سه عدد نیاز است تا نقطه ای بر این شی تعریف شود

 نوشته های ریاضی زیادی از بعد بنا نهاده می شود که چگونه اندازه  یک شی تغییر می کند همانطور که بعد خطی افزایش می یابد. در یک بعد یک پاره خط بررسی می شود..اگر بعد خطی پاره خط دو برابر شود سپس به طور بدیهی طول (اندازه مشخص) خط دوبرابر شده است. در حالت دو بعدی به عنوان مثال اگر ابعاد خطی مستطیل دو برابر شود سپس به اندازه مشخصی، مساحت بر اساس فاکتور ۴ افزایش می یابد. در حالت سه بعدی اگر بعد خطی جعبه ای( مترجم: مکعبی) دو برابر شود سپس حجم بر اساس فاکتور ۸ افزایش می یابد.این رابطه بین بعد D ،مقیاس گذاری خطی L و نتیجه افزایش در اندازه S  می تواند به صورت زیر خلاصه و نوشته شود:

S=L^D

این فقط آنچه که ما از تجربه روزمره مان می شناسیم را از لحاظ ریاضی به ما می گوید. به عنوان مثال اگر ما شی دو بعدی را مقیاس گذاری کنیم سپس مساحت از طریق مربع مقیاس گذازی افزایش می یابد. اگر ما شی سه بعدی را مقیاس گذاری کنیم حجم از طریق مکعب فاکتور مقیاس افزایش می یابد. دوباره نویسی وتغییر در معادله بالا عبارتی را وابسته به بعد حاصل می دهد  که چگونه اندازه، تغییرمی کند همانطور که تابع خطی مقیاس گذاری می شود:

D=log(S)0/log(L)0

در مثال بالا ارزش D یک عدد صحیح است ۱،۲،۳ وابسته به بعد هندسی است. این رابطه برای همه شکل های هندسی محفوظ است.با این وجود اشکال زیادی وجود دارند که بعد صحیح را بر اساس قاعده ای که در بالا آورده شده نه براساس شهودی و نه ریاضی تایید نمی کنند.به خاطر همین  اشکالی وجود دارد به طور مثال به صورت منحنی ظاهر می شوند ولی نمی توان آنها را به صورت یک عدد تنها نشان داد.اگر فرمول مقیاس گذاری که پیشتر بکار بردیم برای بعد این اشکال بکار بریم عدد صحیحی بدست نمی آید.اشکال وجود دارند که در سطح واقع شده اند اگرآنها از طریق فاکتور L مقیاس گذاری شوند مساحت از طریق مربع L افزایش نمی یابد بلکه از طریق مقدار غیر صحیح افزایش می یابد.این هندسه ها برخال ها نامیده می شوند! یکی از ساده ترین اشکال برخالی برفدانه فون کوخ است. روش ایجاد این شکل جایگزینی مکرر هر پاره خط به دنبال چهار پاره خط است.

این فرایند با یک پاره خط ساده آغاز می شود وتا آخر ادامه می یابد. چندین تکرار آغازین این فرایند در زیر نشان داده شده:

این نشان می دهد که چگونه قانون خیلی ساده تولید این شکل می تواند بعضی ویژگیهای غیر معمول (برخالی) ایجاد کند.بی شباهت به اشکال اقلیدسی، این شکل جزئیاتی در تمام سطوح دارد.اگر کسی شکل اقلیدسی مثلا محیط دایره ای را بزرگ کند اون شکل متفاوتی خواهد شد یعنی به صورت خط مسقیمی می شود.اگر ما این  برخال را بزرگتر وبزرگتر کنیم جزییات آشکار می شود، جزئیات خود متشابه است یا ترجیحا آن دقیقا خود متشابه است.

این هم برنامه برخالی مندل بروت ست که دراکسل ۹۷ نوشته شده است راست کلیک و سیو تارگت از:

 و برنامه دیگری در اکسل:

مندلبروت ست

سیستمهای توابع تکرار شونده IFS، طبقه بندی برخالها:

 جهان برخالی

 فراکتالهای سیستمهای توابع تکرار شونده:

  IFS انواع دیگر فراکتالها سیستمهای توابع تکرار شونده نامیده می شوند. اینگونه فراکتالها، توانایی دارند که بر اساس قوانین برخالی تصاویر واقعی با مجموعه اعداد خیلی کوچک ایجاد کنند.IFS  تا کنون در رمز گذاری تصاویری که تقریبا در همه سطوح پیچیده و جزی و به مثابه گروه کوچکی از اعداداند، استفاده شده است بدین وسیله نسبت فشردگی شگفت آوری از تصاویر حدود ۱۰۰ یا بیشتر را حاصل می دهد.

برخالهای مدار گیر ( مدار افکن )/مجموعه مندلبروت:

این برخالها کاملا متفاوت هستند.آنها واقعا در صفحه مخطلط (اعداد مخطلط ) قرار دارند(در اینجا محور X معرف اعداد حقیقی و محور Y معرف اعداد موهومی است. به عنوان مثال جذر ۱- ) و سلول به سلول ساخته شده اند. آنها گاهی برخالهای مدار گیر یا برخالهای زمان گریز نامیده می شوند به خاطراینکه رنگ هر سلول (پیکسل) از طریق تعداد تکراری که رخ می دهد تا تعیین بکند که آیا عدد مخطلط آغازین گریزی به سمت بینهایت خواهد داشت یا اینکه در دام یک مدار گیر بیفتد، تعیین خواهد شد.معنی جمله اخیر چیست؟

• هر پیکسل در صفحه ارزش عدد مخطلطی را درصفحه مخطلط مشخص می کند.
• آن ارزش تکرار می شود (پس خورند) بر اساس تابع ریاضی تا تعداد لیستی از اعداد ایجاد کند.(که مدار نامیده می شود)
• اگر لیستی از اعداد (مدار) آغاز شود و تا بینهایت ادامه یابد، آن زمان گریز است، آن؛ تعداد تکرارهای زیادی  قبل از وضوح صرف می کند تا به به سمت بینهایت ادامه پیدا کند. اگر لیستی ازمدار به سمت بینهایت نرود.(بعد از چند عدد از قبل تعیین شده مکرر) سپس آن یک نقطه محبوس(زندانی) است.
• هر سلول (پیکسل) یا به رنگ سیاه است، اگر آن زندانی است  ویا  رنگی است بر اساس اینکه چه تعداد تکرار داشته تا بگریزد.
•  مرز بین نقاط سیاه و نقاط رنگی بینهایت پیچیده وبرخالی است.

مجموعه برخالی مندلبروت (که در زیر مشاهده می شود) معروفترین و رایج ترین نوع برخال است، اما تعداد بینهایت پراکندگی در آن وجود دارد.در اینجا ، نقاط آبی پر رنگ داخلی، نقاط محبوس (زندانی) را نشان می دهد.آبی پر رنگ بیرونی نقاطی است که در فرایند تکرار عدد صفر به خود می گیرد تا مشخص شود که آن نقاط می خواهند خارج شوند و به سمت بینهایت بروند.

وقتی کسی بر روی یکی از این برخالها زوم کند (بزرگ کند)، کامپیوتر فقط ارزشها و رنگهای نقاطی را که درصفحه (مختصات) مخطلط به هم نزدیکترند، محاسبه می کند.

خیلی مشکل است که بتوانیم توضیح واضحی ارائه بدیم که چگونه مجموعه " ام"( M-set ) ساخته می شود

 نقاطی از مجموعه ام (مندل بروت) خلاصه شده ای از مجموعه های بینهایت جولیا است.به شکل زیر نگاه کنید تصاویر بیرونی زوم شده مجموعه مندل بروت هستند. از این تصویر نتیجه می گیریم که مجموعه جولیا نقاطی در داخل مجموعه مندل بروت هستند.

 جمع شدگی با انتشار محدود Diffusion Limited Aggregation:

دی.ال.ای فرایند انتخاب تصادفی نقاط دردو یا سه بعد و تلقی کردن آنها به صورت ذرات است. هربار ذره جدیدی معرفی می شود،آن به صورت تصادفی می چرخد تا اینکه مسیری می پیماید و  نسبت به ذرات دیگرکه بخشی ازساختارموجود هستند،  گیرمی افتد.این عمل به یک ساختار شبیه برخال منجر می شود که تقلید ساختارهای بسیاری در طبیعت است (یک پراکندگی می توانداستفاده شود، به عنوان مثال مدل سازی انتشار یک لکه نفتی در خاک):

ساختار برخال معروف مندل بروت:

  منبع: هندسه برخالی