برخال و طبیعت

تفاوت تک برخالی با چند برخالی:

liliholman — Sat, 14 Mar 2009 21:55:33 GMT

1: برخال مجموعه ای است که ( از لحاظ تعریف) از مجموعه اشیا که در این مثال نقاط تشکیل می شود.

یک چند برخالی مجموعه است که از مقادیر بسیاری از زیر مجموعه های در هم بافته شده ترکیب شده که هر یک ابعاد مختلف برخالی دارند

2: در برخال هر نقطه عضوی از مجموعه است یا نیست.مقیاس یا پیمانه هر نقطه در دامنه ای بین 0 تا 1 قرار دارد.

در چند برخالی هر نقطه همراه با یک پیمانه یا مقیاس است که عموما عددی نا منفی (اغلب نرمال شده) و حقیقی است.

3: برخال از طریق ساختار خود متشابه و بعد منفرد نا صحیح مقیاس گذاری ، مشخص می شود

داده ها در مجموعه چند برخالی ممکن است به خاطر حضور بسیار زیاد مجموعه های منحصر به فرد برخالی به صورت ساختار خود متشابهی ظاهر نشوند .

ما بعدا خواهیم دید که یک مجموعه چند برخالی از طریق طیف این ابعاد مقیاس گذاری نمایش داده می شوند

مقدمه ای به برخالها

liliholman — Mon, 10 Nov 2008 11:54:33 GMT

متن زیر ترجمه ای است از سایت آقای پاول بوورک لطفا اگر از مطالب این وبلاگ در جایی دیگر استفاده می کنید منبع مطالب را عنوان نماییداین کار باعث علمی تر شدن مطالبتان می شودمثلا اگر مطلب به طور غیر مستقیم باشد می توانید اینگونه آدرس دهید مثلااگر متن زیر استفاده شده می توانید در انتهای متن بنویسید(پاوول برووک به نقل از وبلاگ برخال و طبیعت).

مقدمه ای به برخالها:

برخال چیست؟

بنوا مندلبروت

شکل هندسی ناهموار و شکسته شده ای که به بخش هایی تقسیم می شود به طوری که هر بخش ( دست کم تقریبا) کپی کوچک شده از شکل کل باشد.

از لحاظ ریاضی

مجموعه نقاطی که بعد برخالی شان متجاوزاز بعد توپولوژی شان باشد.

سیستم های آشوبناک:

تصویرمندل بروت کلاسیک زیر تصویری است که تا حد زیادی در سیستم های برخالی وآشوبناک مشهور بوده است.مجموعه مندل بروت از طریق تکنیک های کلی ایجاد می شود در آن تابع ای از فرمz+1=f(zn)0 استفاده می شود تا دنباله ای از متغیر های مخطلط ایجاد کند.در مورد مجموعه مندل بروت تابع f(zn)=zn^2 +z0 است.این دنباله ها برای هر نقطه آغازین در بعضی بخشهای صفحه (مترجم :مختصاتی ) مخطلط ایجاد می شود.

هندسه برخالی:

تقریبا تمام فرمهای استفاده شده برای سازه های ساخته شده بشری ، اشیایی هستند که به هندسه اقلیدسی تعلق دارند، آنها شامل: خطوط ،سطوح، حجمهای مستطیلی، کمانها، استوانه ها، کره ها و...هستند. این عناصر می توانند تعلقاتی به بعد صحیح هر کدام ۱،۲،۳ تقسیم شوند.این مفهوم بعد را می توان هم به صورت شهودی وهم ریاضی توضیح داد. به صورت شهودی ما می گوییم که یک خط یک بعدی است چونکه فقط برای تعریف هر نقطه بر آن یک عدد لازم است.آن عدد می تواند فاصله از ابتدای خط باشد. این تعریف به خوبی برای تعریف محیط دایره ، منحنی یا مرز هر شی بکار می رود.

یک سطح دو بعد دارد چونکه ما برای تعریف هر نقطه در سطح آن به دو نقطه نیاز داریم. راههای زیادی برای ترتیب و تعریف این دو عدد وجود دارد (مترجم: منظور تعریف نقاط بر سطح بر اساس مختصات قطبی ویا مختصات کارتزین (دکارتی) است)ولی ما به صورت طبیعی یک سیستم مختصاتی متعامدی ایجاد می کنیم. مثالهای دیگری از اشیای دو بعدی سطح کره یا سطح پیچ خورده اختیاری هستند.

حجم بعضی از اشیای جامد بر اساس همان قاعده بالا سه بعدی است. سه عدد نیاز است تا نقطه ای بر این شی تعریف شود

نوشته های ریاضی زیادی از بعد بنا نهاده می شود که چگونه اندازه یک شی تغییر می کند همانطور که بعد خطی افزایش می یابد. در یک بعد یک پاره خط بررسی می شود..اگر بعد خطی پاره خط دو برابر شود سپس به طور بدیهی طول (اندازه مشخص) خط دوبرابر شده است. در حالت دو بعدی به عنوان مثال اگر ابعاد خطی مستطیل دو برابر شود سپس به اندازه مشخصی، مساحت بر اساس فاکتور ۴ افزایش می یابد. در حالت سه بعدی اگر بعد خطی جعبه ای( مترجم: مکعبی) دو برابر شود سپس حجم بر اساس فاکتور ۸ افزایش می یابد.این رابطه بین بعد D ،مقیاس گذاری خطی L و نتیجه افزایش در اندازه S می تواند به صورت زیر خلاصه و نوشته شود:

S=L^D

این فقط آنچه که ما از تجربه روزمره مان می شناسیم را از لحاظ ریاضی به ما می گوید. به عنوان مثال اگر ما شی دو بعدی را مقیاس گذاری کنیم سپس مساحت از طریق مربع مقیاس گذازی افزایش می یابد. اگر ما شی سه بعدی را مقیاس گذاری کنیم حجم از طریق مکعب فاکتور مقیاس افزایش می یابد. دوباره نویسی وتغییر در معادله بالا عبارتی را وابسته به بعد حاصل می دهد که چگونه اندازه، تغییرمی کند همانطور که تابع خطی مقیاس گذاری می شود:

D=log(S)0/log(L)0

در مثال بالا ارزش D یک عدد صحیح است ۱،۲،۳ وابسته به بعد هندسی است. این رابطه برای همه شکل های هندسی محفوظ است.با این وجود اشکال زیادی وجود دارند که بعد صحیح را بر اساس قاعده ای که در بالا آورده شده نه براساس شهودی و نه ریاضی تایید نمی کنند.به خاطر همین اشکالی وجود دارد به طور مثال به صورت منحنی ظاهر می شوند ولی نمی توان آنها را به صورت یک عدد تنها نشان داد.اگر فرمول مقیاس گذاری که پیشتر بکار بردیم برای بعد این اشکال بکار بریم عدد صحیحی بدست نمی آید.اشکال وجود دارند که در سطح واقع شده اند اگرآنها از طریق فاکتور L مقیاس گذاری شوند مساحت از طریق مربع L افزایش نمی یابد بلکه از طریق مقدار غیر صحیح افزایش می یابد.این هندسه ها برخال ها نامیده می شوند! یکی از ساده ترین اشکال برخالی برفدانه فون کوخ است. روش ایجاد این شکل جایگزینی مکرر هر پاره خط به دنبال چهار پاره خط است.

این فرایند با یک پاره خط ساده آغاز می شود وتا آخر ادامه می یابد. چندین تکرار آغازین این فرایند در زیر نشان داده شده:

این نشان می دهد که چگونه قانون خیلی ساده تولید این شکل می تواند بعضی ویژگیهای غیر معمول (برخالی) ایجاد کند.بی شباهت به اشکال اقلیدسی، این شکل جزئیاتی در تمام سطوح دارد.اگر کسی شکل اقلیدسی مثلا محیط دایره ای را بزرگ کند اون شکل متفاوتی خواهد شد یعنی به صورت خط مسقیمی می شود.اگر ما این برخال را بزرگتر وبزرگتر کنیم جزییات آشکار می شود، جزئیات خود متشابه است یا ترجیحا آن دقیقا خود متشابه است.

این هم برنامه برخالی مندل بروت ست که دراکسل ۹۷ نوشته شده است راست کلیک و سیو تارگت از:

و برنامه دیگری در اکسل:

مندلبروت ست

سیستمهای توابع تکرار شونده IFS، طبقه بندی برخالها:

liliholman — Sun, 26 Oct 2008 15:23:33 GMT

سیستمهای توابع تکرار شونده IFS، طبقه بندی برخالها:

جهان برخالی

فراکتالهای سیستمهای توابع تکرار شونده:

IFS انواع دیگر فراکتالها سیستمهای توابع تکرار شونده نامیده می شوند. اینگونه فراکتالها، توانایی دارند که بر اساس قوانین برخالی تصاویر واقعی با مجموعه اعداد خیلی کوچک ایجاد کنند.IFS تا کنون در رمز گذاری تصاویری که تقریبا در همه سطوح پیچیده و جزی و به مثابه گروه کوچکی از اعداداند، استفاده شده است بدین وسیله نسبت فشردگی شگفت آوری از تصاویر حدود ۱۰۰ یا بیشتر را حاصل می دهد.

برخالهای مدار گیر ( مدار افکن )/مجموعه مندلبروت:

این برخالها کاملا متفاوت هستند.آنها واقعا در صفحه مخطلط (اعداد مخطلط ) قرار دارند(در اینجا محور X معرف اعداد حقیقی و محور Y معرف اعداد موهومی است. به عنوان مثال جذر ۱- ) و سلول به سلول ساخته شده اند. آنها گاهی برخالهای مدار گیر یا برخالهای زمان گریز نامیده می شوند به خاطراینکه رنگ هر سلول (پیکسل) از طریق تعداد تکراری که رخ می دهد تا تعیین بکند که آیا عدد مخطلط آغازین گریزی به سمت بینهایت خواهد داشت یا اینکه در دام یک مدار گیر بیفتد، تعیین خواهد شد.معنی جمله اخیر چیست؟

هر پیکسل در صفحه ارزش عدد مخطلطی را درصفحه مخطلط مشخص می کند.
آن ارزش تکرار می شود (پس خورند) بر اساس تابع ریاضی تا تعداد لیستی از اعداد ایجاد کند.(که مدار نامیده می شود)
اگر لیستی از اعداد (مدار) آغاز شود و تا بینهایت ادامه یابد، آن زمان گریز است، آن؛ تعداد تکرارهای زیادی قبل از وضوح صرف می کند تا به به سمت بینهایت ادامه پیدا کند. اگر لیستی ازمدار به سمت بینهایت نرود.(بعد از چند عدد از قبل تعیین شده مکرر) سپس آن یک نقطه محبوس(زندانی) است.
هر سلول (پیکسل) یا به رنگ سیاه است، اگر آن زندانی است ویا رنگی است بر اساس اینکه چه تعداد تکرار داشته تا بگریزد.
مرز بین نقاط سیاه و نقاط رنگی بینهایت پیچیده وبرخالی است.

مجموعه برخالی مندلبروت (که در زیر مشاهده می شود) معروفترین و رایج ترین نوع برخال است، اما تعداد بینهایت پراکندگی در آن وجود دارد.در اینجا ، نقاط آبی پر رنگ داخلی، نقاط محبوس (زندانی) را نشان می دهد.آبی پر رنگ بیرونی نقاطی است که در فرایند تکرار عدد صفر به خود می گیرد تا مشخص شود که آن نقاط می خواهند خارج شوند و به سمت بینهایت بروند.

وقتی کسی بر روی یکی از این برخالها زوم کند (بزرگ کند)، کامپیوتر فقط ارزشها و رنگهای نقاطی را که درصفحه (مختصات) مخطلط به هم نزدیکترند، محاسبه می کند.

خیلی مشکل است که بتوانیم توضیح واضحی ارائه بدیم که چگونه مجموعه " ام"( M-set ) ساخته می شود

نقاطی از مجموعه ام (مندل بروت) خلاصه شده ای از مجموعه های بینهایت جولیا است.به شکل زیر نگاه کنید تصاویر بیرونی زوم شده مجموعه مندل بروت هستند. از این تصویر نتیجه می گیریم که مجموعه جولیا نقاطی در داخل مجموعه مندل بروت هستند.

جمع شدگی با انتشار محدود Diffusion Limited Aggregation:

دی.ال.ای فرایند انتخاب تصادفی نقاط دردو یا سه بعد و تلقی کردن آنها به صورت ذرات است. هربار ذره جدیدی معرفی می شود،آن به صورت تصادفی می چرخد تا اینکه مسیری می پیماید و نسبت به ذرات دیگرکه بخشی ازساختارموجود هستند، گیرمی افتد.این عمل به یک ساختار شبیه برخال منجر می شود که تقلید ساختارهای بسیاری در طبیعت است (یک پراکندگی می توانداستفاده شود، به عنوان مثال مدل سازی انتشار یک لکه نفتی در خاک):

ساختار برخال معروف مندل بروت:

منبع: هندسه برخالی

ادامه چند برخالی در توپوگرافی

liliholman — Thu, 08 May 2008 17:07:33 GMT

متن زیر بخشهایی از مقاله Tennekon & Boufadel و مقاله schertzer & lovejoy است که توسط اینجانب ترجمه شده است

اول از همه اشتباهات زیر را اصلاح کنید:

بعد از اولین ادامه... بر اساس استدلال بُعدی صحیح است نه توافق بُعدی

و همینطور خط بعدی ترجمه ی این متن است:

and the field PHI is assumed to follow the phenomenological multiplicative cascad model of Kolmogorov whereby large eddies transmit thier energy without dissipation to smaller eddies down to Kolmogorov scale, where energy is dissipated by viscosity.

ادامه...

حالت استاندارد معادله

خلاصه ای از روند تکاملی هندسه برخالی

liliholman — Thu, 05 Jul 2007 12:54:33 GMT

برخال اولین بار توسط بنوا مندلبرو در سال ۱۹۷۵ ارئه داده شد.در بسیاری از وبلاگها مشاهده شده که تاریخ دقیقی از این موضوع ارائه نداده اند. ولی من در اینجا با صراحت کامل ذکر می کنم که بنوا مندل برو تحقیقات خودش رو از سال ۱۹۶۰ شروع کرده ولی اولین بار کلمه برخال fractal رو در مقاله سال ۱۹۷۵ ( Stochastic Models for Earth`relief, the shape and the fractal dimension of coastlines, and the number-area rule for islands ) ذکر کرده اما مشتقات این کلمه مثل fractional dimensionبعد کسری در مقاله سال ۱۹۶۷با عنوان ( How long is the coast of britain? Statistical self-similarity and fractional dimension.) ذکر شده است. بعد ها او در مقالات بعدیش به توسعه این هندسه پرداخته است. او مطالعات پراکنده دانشمندان دیگر را در قالب هندسه منسجمی ارائه داد. درسال ۱۹۶۰ هواشناس آمریکایی ادوارد لورنز برای شبیه سازی سیستمهای جوی از معادلات غیر خطی استفاده می کرد. او به این نکته پی برد که تغییرات کوچک ( حتی ۱هزارم) در شرایط اولیه باعث تغییرات زیادی در نتیجه می شود. بعد ها این پدیده را اثر پروانه نامیدند. یعنی تنها با گرد کردن اعداد بعد از چهارمین رقم اعشار یک چنین اختلاف بزرگی در نتیجه حاصل شده است این بدین معنی است که اگر پروانه ای در چین بالهاشو بر هم بزنه نتایج حاصل از برخورد بال این پروانه با هوا باعث می شه که در آریزونا توفانی ایجاد بشه. این یک تمثیل است. لورنز برای مدلسازی عمل رفتار آشوبناک سیستم گازی در اتمسفر سه معادله از عرصه فیزیک دینامیک سیالات به عاریه گرفت سپس با کمی خلاصه سازی به صورت زیر ارائه داد:

(dx/dt =Δ*(y-x

dy/dt=r*x-y-z*z

dz/dt=x*y-b*z

تصویر فوق مجذوب کننده لورنز Lorenz attractor یا سیستم خط سیر لورنزTrajectory Lorenz Systemنامیده می شود که فوق العاده به شرایط اولیه حساس است

مجذوب کننده لورنز ساختار سه بعدی مطابق با رفتار دراز مدت جریان آشوبناک است که شکل پروانه وار دارد. تصویر فوق همچنین چگونگی حالت سیستم دینامیک را در بازه زمانی و در الگوی تکرار نشونده پیچیده ای نشان می دهد ( سه متغیر سیستم سه بعدی). در سال ۲۰۰۱ فرمول لورنز توسط وارویک توکر اثبات شد که برای مجموعه مشخصی از پارامترها ، سیستم، رفتار آشوبناکی از خودش نشان می دهد که امروزه مجذوب کننده نا متجانس Strange Attractor نامیده می شود. مجذوب کننده نامتجانس در این مورد، فراکتالی با بعد هاوسدورف بین ۲ و ۳ است. گراس برگر Grassberger در سال ۱۹۸۳ بعد هاوسدورف را برابر با 2.06 ± 0.01 تخمین زده است(ویکیپدیا )

دلتا بیان کننده چسبندگی سیال ماده نسبت به هدایت گرماییش است. r اختلاف درجه حرارت بین بالا وپایین یک سیستم گازی است b نسبت عرض به ارتفاع جعبه فرضی است که سیستم گازی در آن تعریف شده است. او با ارائه سه معادله دیفرانسیل حالتی را بیان کرده که در آن تابع به صورت آشوبناک در می آید که در اصطلاح به آن کیاس chaos می گویند .یکی از خصوصیات تابعی که رفتار آشوبناک دارد این است که نسبت به شرایط اولیه حساس است. کوچکترین تغییر در شرایط اولیه با عث تغییر فاحش در نتیجه می شود. برخال و تابع آشوب رابطه تنگاتنگی با هم دارند . جولیا ست یا مجموعه جولیا تابع ساده ای است با ساختار برخالی که در نهایت رفتار آشوبناکی دارد. اولین تجربه عملی تابع آشوبناک مربوط به آزمایش چرخ آسیاب آبی است. ابتدا آب با سرعت کم به روی چرخ آسیاب آبی ریخته می شد. و چرخ به حرکت در میامد با افزایش سرعت آب ، سرعت چرخ بیشتر و بیشتر می شد .تا اینکه در یک سرعت آستانه ای از آب ، ناگهان چرخ توقف کوتاهی کرد و در جهت عکس به حرکت در آمد پس از مدتی چرخیدن دوباره توقف کوتاهی نمود وسپس در جهت اولیه به حرکت در آمد این عمل بارها بارها تکرار شد.اولین بار کمپانی گلد استار goldstar در سال ۱۹۹۳ ماشین لباسشویی تولید کرد که با سیستم آشوب (کیاتیک) کار می کرد. شیوه کار آن به گونه ای بود که آب در داخل ماشین به صورت تصادفی به اطراف پاشیده می شد. شرکت دوو dawoo در سال ۱۹۹۰ ماشین جوشانی را ساخت که سیستم آشوبناکی پیروی می کرد با این تفاوت که بخش کنترل دستگاه (مدار منطقی) با منطق فازی کار می کرد. مدار اتی که بر اساس منطق فازی کار می کردند قادر بودند مقادیر بین صفر و یک را نیز انتخاب کنند. (درست یا غلط)

نظریه برخالی از زمان تولد تا کنون مراحل تکاملی رو پشت سر گذشته که می تونیم به صورت زیر طبقه بندی کنیم:
A:حالت مونوفراکتال یا تک بعد برخالیmonofractal که یک بعد نمایانگر نحوه تشکیل شکل برخالی است
1: خود متشابه ای یا خود همانندی جبریdeterministic self-similar
2: خود متشابه ای آماری statistical self-similarکه بعد برخالی نتیجه محاسبه مقادیر میانگین ارزشها است
B: مالتی فراکتال یا چند برخالی multifractal :مالتی فراکتال اولین بار در سال ۱۹۹۷ توسط بنوا مندل برو ،ای. کالورت ، ای. فیشر معرفی شد. سیستم مالتی فراکتالی خلاصه ای از سیستم فراکتالی است بطوریکه یک نمای منفرد بعد فراکتالی، توان بیان دینامیک سیستم را ندارد و طیف پیوسته ای از نماها برای این منظور مورد نیاز است .به این نما بعد فردیت یا تکینگی singularity گفته می شود.این نما درجه تکینگی محلی یا نظم حول یک نقطه رو بیان می کند. به طور مجموع همه نقاطی را که در نمای فردیت یکسانی سهیمند را تشکیل می دهد که این مجموعه نماها مجموعه های برخالیند. توپوگرافی سطح زمین ، ابرها، جریانات آشفته سیالات ،ضربان قلب و... مواردی از حالت مالتی فراکتالیند. برای اطلاع بیشتر می توانید به سایت آقای شاون لاوجوی و شرتزر مراجعه کنید:
لاوجوی از دانشگاه مک گیل مون رئال کانادا
لینک
لینک
و آقای دانیل شرتزر از دانشگاه مادام و پیر کوری فرانسه
لینک
این دو در زمینه کاربرد مالتی فراکتال در ژئو فیزیک و شبیه سازی بارندگی ، مطالعه ابرها به نتایج جالبی رسیده اند. آنها کارهای کولموگرف و دیگران را دنبال کرده اند
بخشهایی از این مطالب ترجمه ای است از سایت :

Chaos Theory & Fractals, Their Applications in Real Life

مالتی فراکتال

liliholman — Tue, 27 Feb 2007 10:49:33 GMT

مطالبی در مورد مالتی فراکتال ها ، مدل کاسکاد و کاربرد آن در ژئوفیزیک و مدل سازی بارندگی، توپوگرافی و...که شامل معادلات هامیلتونی ، مدلهای احتمالاتی ، و جریانات آشفته است آقایان لاوجوی، شرتزر از جمله دانشمندانی اند که کارهای ریچاردسون، کولموگروف رو دنبال کرده اند و به مطالب جالبی رسیده اند لینک زیر مقاله پروفسور لاوجوی از دانشگاه مک گیل کانادا و پروفسور شرتزر از دانشگاه مادام و پیر کوری پاریس فرانسه است.

http://www.physics.mcgill.ca/~gang/eprints/Paris.eprints/Stochastic.multi.eprint2002.pdf

گالری فراکتالی

liliholman — Wed, 10 Jan 2007 16:48:33 GMT

گالری تصاویر فراکتالی:

http://www.enchgallery.com

http://www.enchgallery.com/fractals/fractal%20images/windtree.jpg

الگوی فراکتالی در پرزهای روده کوچک:

اگر شما می خواستید برای سطحی که در درون حجم ثابتی گنجانده خواهد شد اما به طوریکه حد اکثر مساحت سطحی رو داشته باشه هندسه ای رو طراحی کنید و از آنجا بیشترین مواد غذایی از طریق لوله های باریک روده به جریان خون انتقال یابد به ساختار برخالی خود ـ متشابه ای که دقیقا هندسه حداکثرسازی جریان انتقال مواد غذایی است رو می آوردید. همین طور اگر هدف حداکثر سازی انتقال اکسیژن در سطحی درون حجم (ثابت)( ریه) یا حداکثر سازی تعداد ورودی های نرونهای ویژه ای که می تونستن از سایر سلولها دریافت کنند. ساختاری که بهترین نحو این کار رو انجام می دهد ساختار خود متشابه ای است.

حد اکثر تماس در حداقل جای ممکن، جایی که عمل هضم غذا صورت می گیرد.

و همچنین در مورد ریه (شش):

Origin of Fractal Branching Complexity in the Lung

http://www.stat.rice.edu/~riedi/UCDavisHemoglobin/fractal.html

http://www.stat.rice.edu/~riedi/UCDavisHemoglobin/fractal3.pdf

کلیه ها ی برخالی :

http://www.scielo.cl/pdf/ijmorphol/v24n1/art06.pdf

خلاصه ای از منحنی های برخالی و نحوه محاسبه بعد برخالی به روش مربع شماری :

http://users.swing.be/TGMSoft/wincrv.htm

و الگوی مالتی فراکتالی در استخوان :

http://www.rad.washington.edu/exhibits/fractal.html

آشوب در برابر نویز- پيچيدگي چيست؟- تئوري سيستمها- سيستمهاي ديناميك غيرخطي

liliholman — Sat, 02 Dec 2006 22:04:33 GMT

آشوب در برابر نويز ( Chaos Versus Noise):

سيستم غير خطي تنها با چند متغير غير خطي مي تواند الگوي تصادفي ايجاد كند بنابراين راه حل آشوبناكي دارد. بنابراين بر اساس توانايي مان نسبت به دانستن و درك سيستم چه ، زماني كه چند عامل ديناميك وجود دارد و چه زماني كه عوامل ديناميك زيادي به دلايل مختلف وجود دارند با محدوديت هاي يكساني مواجه هستيم. اجازه دهيد به فرايند تصادفي تحت عنوان نويز ، تاثير غير قابل تخمين محيط بر سيستم بعدا اشاره كنيم. در اينجا فرض بر آن است كه محيط تعداد بينهايت عوامل دارد كه همه آن چيزهايي كه نمي شناسيم اما آنها سيستمهاي تمايلاتي را كنترل مي كنند وبه صورت تصادفي آشفتگي ايجاد مي كنند كه خط سير نا مشخصي دارند.منباب تفاوت ، آشفتگي ، نتيجه روابط متقابل جبري و غير خطي در يك سيستم ديناميك مجزا است كه به رفتار نا منظم تخمين پذيري محدود منجر مي شود. آشوب مشخصه تلويحي، از يك سيستم پيچيده مي باشد در عوض نويز ، يك مشخصه محيطي در ارتباط با سيستم تمايل مي باشد. بنابر اين آشوب در يك بازه زماني كوتاه كنترل مي شود و تخمين زده مي شود ، در عوض نويز نه تخمين زده مي شود نه كنترل مي شود مگر تمام مسيري كه نويز با سيستم در ارتباط است.

پيچيدگي چيست؟ ( What is Complexity):

تمایز بین آشوب و نویز یكي از مشكلات فرمول نويسي ميزان نامبهم پيچيدگي را روشن مي سازد.از آنجا كه نويز قابل كنترل وپيش بيني نيست ممكن است پيچيده به نظر آيد، بنابراين سيستمها با درجات مختلفي از آزادي كه تصادفي بودن را نشان مي دهند، ممكن است به صورت پيچيده ( Complex) بررسي شوند. از طرف ديگر يك سيستم تنها با تعداد معدودي از عوامل ديناميك ، وقتي كه آشوبناك است، ممكن است به صورت ساده بررسي شود. بنابراين دو سيستم ظاهرا با رفتار نا منظم يكسان مي تواند بخاطر علل مختلف آن رفتار ، تعريف متفاوتي از پيچيدگي داشته باشد.

تئوري سيستمها:

در مقالات پيشين بر اساس تئوري سيستمها ، افزايش پيچيدگي يك سيستم باز مورد بحث قرار گرفت بطوريكه سيستم باز مي تواند به حد آستانه اي برسد جائيكه سيستم آنچنان پيچيده مي شود كه پيروي از ديناميكهاي عوامل منحصر بفرد غير ممكن است . بر اين اساس اغلب ويژگيهاي جديد ظاهر مي شود و سازمان جديد متحمل نوع كاملا متفاوتي از ديناميكها مي شود. جزئيات روابط ميان عوامل منحصر بفرد اساسا كم اهميت تر از ساختار و الگوي هندسي مجموعه جديد هستند. اين رفتار خود- جمع شدگي در بسياري از پديده هاي زيستي ، فيزيكي و اجتماعي ديده مي شود. افزايش بيشتر تعداد عوامل يا متناوبا تعداد روابط اغلب به بي سازماني كامل منجر مي شود و رويكرد تصادفي توصيف خوبي از رفتار سيستم مي شود. اگر تصادف (نويز ) حالا تحت عنوان چيز ساده اي بررسي مي شود. همانطور كه واضح است آن مجبور است به دنبال اندازه اي از پيچيدگي باشد كه مقادير را در حد سيستمي كه تعداد بينهايت عوامل دارد كاهش دهد. بنابراين ميزان ماندگاري پيچيدگي ابتدا بايستي افزايش يابد و سپس با افزايش پيوسته تعداد عوامل سيستم و يا افزايش تعداد روابط بين عوامل سيستم كاهش يابد .

سيستم هاي ديناميك غيرخطي: ( Nonlinear Dynamical Systems)

معادلات حركت كه از طريق سيستم هاميلتوني كه محافظه كار ناميده مي شود- از آنجايي كه آنها كل انرژي سيستم را حفظ مي كنند- توليد مي شوند. سيستمهاي ديگر به آساني از طريق هاميلتون به خاطر محافظه كار نبودنشان و اتلاف انرژي در طول زمان توصيف نمي شوند.هم در حالت محافظه کارانه سیستم وهم سیستم های غیر محافظه کار ، معادلات حرکت جبریند ، بطوریکه گفته می شه ، شرایط اولیه حاصله؛ برای حالت نهایی سیستم به طور نامبهمی از طریق معادله حرکت تعیین می شود. البته امروزه ما می دانیم که همانطورکه معادلات حرکت غیر خطیند ، تغییر کوچک در حالت اولیه سیستم منجر به تغییر بزرگ و غیرقابل پیش بینانه ای در حالت نهایی سیستم دینامیکی می شود. این حساسیت به حالت اولیه سیستم وابسته است، آشوب کشف شد، اما جهت حل معادلات دینامیکی ،غیر خطی ،جبری تا قرن اخیر توسط ریاضیدان و منجم هانری پوانکاره ـ در بررسی اش در زمینه حرکت محافظه کارانه سیارات در مدارشان ــ بدین نام نامگذاری نشد. (( آشوب)) نتیجه دینامیکهای هامیلتونی انتگرال ناپذیر است و اهمیتش تا نیمه اخیر قرن بیستم توسط مجامع علمی درک نشد. کارهای کولموگروف آرنولد و موزر آنچه که حالا تئوری « KAM » نامیده می شود را روشن ساخت. در اوایل۱۹۶۰ پدیده آشوب توجه مجامع علمی با کشفیات مجدد کار های هواشناس ادوارد لورنز که روی پراکندگی سیستم های هیدرو دینامیکی کار می کرد جلب شد.

منبع:

Physics of fractal operators

Authurs : Bruce J. West

Mauro Bologna

Paolo Grigolini

روش مربع شماری جهت محاسبه بعد فراكتالي

liliholman — Sat, 18 Nov 2006 18:41:33 GMT

چه رابطه بين طول يك شي (يا مساحت يا حجم) و قطرش وجود دارد؟ جواب دادن به اين سوال باعث مي شه تا ما درباره بعد بيشتر فكر كنيم.اجازه بدين چند مثال بررسي كنيم. اگر سعي كنيم يك مربع واحدي را با مربعات كوچكتر به طول ضلع بپوشانيم، چه تعداد مربع نياز خواهيم داشت؟ واضع است كه جوابش (( / 1)) است. چگونه قطعه اي به طول ۱ را بپوشانيم؟ اينجا فقط به / 1 مربعات كوچك نياز داريم.

شكل ۲: پوشش يك منحني، يك سطح و مكعب سه بعدي با مكعباتي به قطر

بعد ((مربع شماري)) براساس مجموعه S حاوي n را به صورت زیر تعریف می كنیم: به ازائ > 0 اجازه دهيد ) N حداقل تعداد مكعبات بعد به طول ضلع مورد نياز جهت پوشاندن S باشد. اگر عدد d وجود داشته باشد به طوريكه:

N (

آن وقت می گوييم كه بعد مربع شماري S برابر d است.

توجه كنيد كه بعد مربع شماري برابر d است اگر و فقط اگر ثابت مثبت k به صورت زير وجود داشته باشد:

k =

از آنجايي كه دو طرف معادله بالا مثبت است اگر از دو طرف لگاريتم بگيريم رابطه محفوظ خواهد ماند:

با حل كردن ؛ d حاصل می گردد

توجه كنيد كه لگاريتم كا حذف مي شود بخاطر اينكه ثابت است با اين حال ضمن اينكه اپسيلون به سمت صفر ميل مي كند ، مخرج بينهايت مي شود . همچنين از آنجاييكه 0 < < 1 لگاريتم اپسيلون منفي است بنابراين همانگونه كه انتظار داريم d مثبت است.

محاسبه برخال كخ با روش مربع شماري:

پوشش منحني كخ با مربعات كوچكتر وكوچكتر

N(1/3) = 3

N(1/9) = N((1/3)²) = 12 = 3*4

N(1/27) = N((1/3)³) = 48 = 3*4²

و در حالت كلي

N((1/3)ⁿ) = 3*4^n-1

(Log(1/r₀),Log(N(r₀)))

= (Log(1), Log(1))

= (0,0)

(Log(1/r₁),Log(N(r₁)))

= (Log(3), Log(4))

= (0.477, 0.602)

(Log(1/r₂),Log(N(r₂)))	= (Log(9), Log(12))	= (0.954, 1.079)
(Log(1/r₃),Log(N(r₃)))	= (Log(27), Log(48))	= (1.431, 1.681)
(Log(1/r₄),Log(N(r₄)))	= (Log(81), Log(192))	= (1.908, 2.283)
...

از رابطه N((1/3)ⁿ) = 3*4^n-1 ما مي تونيم ارزش دقيق d_b بادبان كخ (منحني كخ) را محاسبه كنيم

d_b	= lim_{r_n->0}Log(N(r_n)) / Log(1/r_n)
	= lim_n->infinityLog(N(r_n)) / Log(1/r_n)
	= lim_n->infinityLog(N((1/3)ⁿ)) / Log(1/((1/3)ⁿ))
	= lim_n->infinityLog(3*4^n-1) / Log(3ⁿ)
	= lim_n->infinity((n-1)Log(4) + Log(3)) / (nLog(3))
	= lim_n->infinity(nLog(4) - Log(4) + Log(3)) / (nLog(3))
	= lim_n->infinity(nLog(4))/(nLog(3)) + (-Log(4) + Log(3))/(nLog(3))
	= Log(4)/Log(3) = 1.26186 ...

بنابراين بعد مربع شماري منحني كخ حدودا برابر ۱.۲۶ است.

محاسبه بعد یك خط با روش مربع شماري:

پوشش يك قطعه خط با مربعات كوچكتر وكوچكتر كه الگوي آن در جدول زير مشاهده مي شود.

N(1) = 1

N(1/2) = 2 = 1/(1/2)

N(1/4) = 4 = 1/(1/4)

N(1/8) = 8 = 1/(1/8)

و در حالت كلي

N(r) = 1/r.

محاسبه بعد يك مربع كامل با روش مربع شماري:

پوشش يك مربع كامل با مربعات كوچكتر و كوچكتر كه الگوي آن در جدول زير مشاهده مي شود

N(1) = 1

N(1/2) = 4 = 1/(1/4) = (1/(1/2))²

N(1/4) = 16 = 1/(1/16) = (1/(1/4))²

N(1/8) = 64 = 1/(1/64) = (1/(1/8))²

و در حالت كلي

N(r) = (1/r)²

تمام مطالب فوق از سايت زير ترجمه شده است:

http://www.math.sunysb.edu/~scott/Book331/Fractal_Dimension.html

لینك زير روش مربع شماري را در محاسبه بعد فراكتالي كهكشان نشان مي دهد:

http://www.ees.nmt.edu/~davew/P362/boxcnt.htm

دست نوشته هاي هاچينسون در مورد فراكتال:

http://www.math.utah.edu/~korevaar/ACCESS2002/fractaltalk/

و برنامه فراکتالی برای دانلود به لینک زیر کلیک کنید:

http://www.ultrafractal.com/download.html

ادامه بحث مالتی فراکتالها :

در پست اول در مورد مالتی فراکتالها صحبت کردیم . گفتیم که تحقیقات اخیر نشان داده که توپوگرافی مالتی فراکتالی است. روش چند برخالی به اندازه خود متشابه اي آماري ( statistical self-similar) دلالت دارد كه مي تواند به صورت تركيبي از مجموعه هاي متقاطع برخالي (interwoven fractal sets) مطابق با نماي مقياس گذاري نمايش داده شود. استفاده ازقوانین مقیاس گذاری در توپوگرافی حداقل به دوران ونینگ ماینسز (۱۹۵۱) بر می گردد که طیف سنجی توپوگرافی (E(k ( کا , طول موج است) را به صورت قانون توانی کا به توان منفی بتا با نمای طیفی B=2 نشان داد. اگر توپوگرافی قانون توانی طیف سنجی داشته باشد پس خطوط همتراز ( مانند خطوط ساحلی) مجموعه های برخالی هستند. آنها بدون تانژانت اند (پرین (۱۹۱۳ ) كه به خاطر اثبات نظريه اينشتين (حركت براووني) جايزه نوبل فیزیك ۱۹۲۶ را دريافت كرد http:www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1926/) و طول ناپذیرند ( بینهایت در طول ، شتاینهاوس (۱۹۵۴)). به خصوص ریچاردسون (۱۹۶۱) دریافت که طول سواحل مختلف به دنبال قا نون توانی با طول خط کش های استفاده شده نسبت به مقیاس اش پراکنده است .مندلبروت (۱۹۶۷) در مقاله معروفش (( طول ساحل بریتانیا چقدر است)) این نمای مقیاس گذاری را به صورت ابعاد برخالی نشان داد. بعد ها با ظهور مدلهای حرکت براونی برخالی ( fbm) چشم انداز زمین ( مندلبروت (۱۹۷۵) ، گودچايلد(۱۹۸۰))، بسیاری از مطالعات برخالی توپوگرافی به همان خوبی مطابق با شبیه سازی های ( گوسی)توپوگرافی ساخته شد. تخمین های غیر مستقیم (واحد) زیادی از ابعاد برخالی براساس مقاطع و سطوح توپوگرافی،همچنين استفاده از روشهای مختلف جهت دیدن اينكه توپوگرافی آماره ای برخالی است، وجود داشته است . روشهای غیر مستقیم از طریق فرض قیاسی وجود تک بعد برخالی شرو ع می شود سپس روابط بسیار تخصصی بکار گرفته می شود تا تک بعد فراکتالی فرضی از توابع ساختاری (واریوگرام ها )، طیف سنجی توانی یا دیگر نما های آماری استنباط شود.( به عنوا ن مثال می توانید روش واریوگرام را در کارهای بورو (۱۹۸۱) مارک و آرونسون(۱۹۸۴) نگاه کنید ، برای روش طیف سنجی توانی کار های گیلبرت (۱۹۸۹) ، هاونگ و تورکات(۱۹۸۹، ۱۹۹۰) و روش ناهموار سازی نمایی به کار های دیتلر و ژانگ (۱۹۹۲) نگاه کنید.) همچنین می توانید به کار های کلینکنبرگ و گودچایلد (۱۹۹۲) خو و همکاران (۱۹۹۳) جهت بازنگری وبحث در مورد نتایج چنین فرایندهای مونوفراکتالی نگاه کنید.

در عوض استنباط غیر مستقیم مونوفراکتالی، تخمینهای مستقیم بعد فراکتالی توپوگرافی وعمق سنجی ( به عنوان مثال استفاده از روش مربع شماری) به طور شکفت انگیزی نادر است. در عرصه های مونوفراکتالی ( وجود یک بعد برخالی) مانند مدل براونی برخالی ، بعد مربع از آستانه استفاده شده جهت تعریف مجموعه، مسقل است، لاوجوی وشرتزر (۱۹۹۰)نشان دادند که این موضوع برای توپوگرافی کاملا غیر واقعی است.در آنالیز توپوگرافی فرانسه با قدرت تفکیک ۱ کیلومتر آنها نشان دادند که بعد مربع به صورت سیستماتیک از۲ (حد اکثر ممکن) به صفر (حداقل) کاهش می یابد ضمن آنکه ارتفاع زیاد می شود.این تحقیق به وضوح نشان داد که مونوفراکتالها بهترین تقریب توپوگرافی نزدیک به میانگین هستند. خیلی مناسب است که توپوگرافی به صورت عرصه ثابت مقیاس گذاری تلقی گردد به طور کلی به اندازه های مالتی فراکتالی و توابع نمایی نیازمند است( به تک نمای مقیاس گذاری مثل بعد برخالی ترجیح داده می شود) .پس بینهایتی از ابعاد فراکتالی( یکی برای هر آستانه یا معادل یکی برای هر گشتاور آماری) جهت توصیف کامل مقیاس گذاری لازم است.

http://www.morphographic.com/Diversions/MaxPlugins/Diversions_Experiments.htm

به خصوص به دنبال آنالیز های چند برخالي بر اساس داده هاي بزرگ توپوگرافي جهاني (گگنان وهمكاران، ۲۰۰۳) پي بردند كه چند پيمانه اي ( multiscaling) همسانگرد ۴۵٪+-ازمقياس هاي سياره اي كمتر از ۴۰ متر را شامل مي شود، درك اهميت اين نتايج ضرورت يافته است (چقدر با تنوع ژئومورفولوژي سازگار است؟) و مستلزم مدل سازي است.( چه محدوديت هاي رخ مي دهد با توجه به مدلهاي ژئوديناميكي كه بايد استفاده كنيم؟)

ادامه دارد

در سال (۱۹۸۷) شرتزر و لاوجوی مبحث مالتی فراکتال یا چند برخالی را در آنالیز توپوگرافی سطح زمین آوردند و به بحث در مورد متفاوت بودن نمای مقیاس گذاری در نواحی مختلف توپوگرافی خاتمه دادند.آناليز مونو فراكتال يا تك برخالي از نيمرخ توپوگرافي در نقاط مختلف نتايج متفاوتي ارائه مي داد.

در پاسخ به سوال(( تعریف جامع ومانع از تابع لجستیک و..))

(( مدل فازی فراکتالی یا درست تر بگم فازی - مالتی فراکتال یک ایده ای بود که من به آن فکر می کردم بعد یک بار تو اینتر نت سرچ کردم دیدم تنها یک مقاله با این فکر وایده ام پیدا کردم از طرفی مصداق این ایده ام تغییر رنگ برگها هستند .درضمن مقاله آنجلا کاکسه ( http://www.vector.org.uk/archive/v192/coxe192.htm ) مدل فازی- فراکتالی است نه فازی -مالتی فراکتالی . دوم اینکه من در حدی نیستم بخوام تعریف کنم چه برسه تعریف جامع و مانع باشه.از طرفی من فکر می کردم تو هر کتاب ریاضی تابع لجستیک تعریف شده باشه من رشته ام ریاضی نیست که بخام تابع لجستیک تعریف کنم من به دلیل اینکه می خواستم برخال و رشته ام رو مطالعه کنم به اجبار با این موضوعات روبرو شدم ولی درکی عمیق ازشون ندارم ازشون عبور کردم . من چیزی در مورد تابع لجستیک نمی دونم. اگه دوست داشته باشی می تونم مطالبی رو از اینترنت برات پیدا کنم وترجمه کنم سایت های آموزشی زیادی هست که اینها رو توضیح می ده من در حال حاضر به مدل فازی مالتی فراکتالی دارم فکر میکنم احتیاج به مطالعه بیشتری دارم . در پست پیشین هم گفتم که تا دقیق قوانین فازی رو یاد نگیرم به ترکیب این دو موضوع نخواهم پرداخت.در کارتوگرافی جهت نمایش عوارض بر روی نقشه از ترکیب خطوط استومپاژ دو رنگ ، طیف رنگی ایجاد می شود که بی شباهت به فازی نیست. من حالا در اینترنت دنبال این موضوع هستم تصویر زیر یك مدل فازي- فراكتالي است :

برگ فازي ـ فراكتالي

مطالبی در مورد تابع لجستیک:

تابع لجستيک يا مدلهاي منحني لجستيک ،منحني s از رشد مجموعه p .مرحله پيشين رشد تقريبا نمايي است. همچنانكه رقابت زياد مي شود ، رشد آهسته مي شود. ودر حالت بلوغ رشد متوقف مي شود. رشد نا محدود و نا متعادل مي تواند به صورت نرخ جمله اي از rKP ( درصدي از p) مدل سازي شود.اما سپس همانطور كه جمعيت رشد مي كند بعضي از اعضاي p ( مدلسازي شده به صورت rP^2-) در رقابت با بعضي ازمنابع بحراني( كه تنگراه مدلسازي شده با k ناميده مي شود ) با يكديگر تداخل ميابند. اين رقابت نرخ رشد را تقليل مي دهد تا اينكه مجموعه p رشدش متوقف مي شود ( اين حالت بلوغ ناميده مي شود).

تابع لجستيك به صورت فرمول رياضي زير مشخص مي شود:

به ازائ پارامتر های حقیقی a,m,n و تاو. این تابع در عرصه های مختلف از بیولوژی تا اقتصاد کاربرد دارد

http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function

http://www.mcasco.com/explorin.html

http://classes.yale.edu/fractals/Chaos/BifDiag/BifDiag.html

محاسبه بعد برخالی كهكشان:( روش مربع شماري)

http://www.ees.nmt.edu/~davew/P362/boxcnt.htm

لجستيك،مالتي فراكتال ، فازي و جي آي اس

liliholman — Mon, 13 Nov 2006 14:20:33 GMT

از سميه خانم ممنونم از بابت تذكري كه به بنده دادن در مورد رابطه تابع لجستيك و مالتي فراكتال ها

اين دو كلمه رو در گوگل سرچ كردم مقالات جالبي بدست آوردم تازه متوجه شدم مدلهاي جديد و هيبريد فازي - نئورال وجود دارن( فازي و شبكه هاي عصبي) كه به مطالعه سري هاي زماني و رفتار سلف افاين منحنی ها مي پردازد

http://sulcus.berkeley.edu/lab/group/rk/ijis3.pdf

مقالاتی مفید در مورد تابع ل‍جستیك ومالتی فراكتالها :

http://www.europhysicsnews.com/full/36/article11.pdf

http://www.cbpf.br/~vallejos/reprints/dasilvaCSF02.pdf

http://ontario.cfe.cornell.edu/publications/gamarrametapopulations.pdf

http://www.math.lsa.umich.edu/~annacg/papers/FGW98.sigcomm.pdf

http://agron.scijournals.org/cgi/reprint/91/6/1033.pdf

و مقاله ۲۰۰۶ آقاي گگنون وهمكاران در مورد مالتي فراكتالي توپوگرافي سطح زمين:

http://www.nonlin-processes-geophys.net/13/541/2006/npg-13-541-2006.pdf

مالتي فراكتال و رفتار شبكه هاي رودخانه اي، آقاي بارتلو و همكاران:

http://www.copernicus.org/EGU/hess/hs4/4/4_105.pdf

روشي براي بازبيني اشكال از طريق تبديل لژاندر:

http://www.rfai.li.univ-tours.fr/rapports/car02b.pdf

و اين هم كاربرد مالتي فراكتال در بارندگي از خانم افي فوفولا استاد يوناني الاصل دانشگاه مينه سوتا:

www.ce.umn.edu/~foufoula/documents/presentations/efg_pr002.ppt

خانم فوفولا پيش از اين مقاله اي در مورد سلف افايني رودخانه ها با همكاري دكتر ساپوژنيكوف(استاد دانشگاه مينه سوتا) نوشته بودند واين هم وب سايت شون:

http://www.ce.umn.edu/~foufoula/

و اما فازي ومطالعات مورفومتري حوضه هاي آبريز:

این هم نقشه شیب حوضه رودخانه ای شفارود. بدلیل وارد نكردن تمام قلل داخل حوضه بعضي خط الراس ها به صورت پلان ظاهر شده. به ماهيت مالتي فراكتالي و فازي بودن شيبها دقت كنيد:

http://photos1.blogger.com/blogger/3701/4177/1600/slope.jpg

آقاي وود در تز دكتري خودش برنامه جي. آي. اسي را در ۲۰۰۰۰خط به زبان C نوشته است كه در آن از منطق فازي جهت نمايش هر چه بهتر دامنه استفاده شده و قلل به صورت فازي نمايش داده مي شود. همچنين در اين برنامه مي توان بعد برخالي پروفيل توپوگرافي را در حالت مونو فراكتال بدست آورد. تز دكتري آقاي وود:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/phd/

نمايش رستري قلل در گلنكو سكاتلند

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/image12.html

انحناي سطوح در ماونت راينر واشنگتن:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/image18.html

قله هاي فازي در نقشه توپوگرافي:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/image10.html

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/gallery/index.html

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/landserf220/doc/userguide/analysis.html

و محاسبه بعد مونو فراكتالي نيمرخ توپوگرافي در لند سرف با استفاده از روش واريوگرام:

http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/landserf/landserf220/doc/addons/focalD.html